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dérivation, récurence

Posté par thibaut-91 (invité) 04-04-05 à 19:14

Je suis bloqué sur cette question, quelqu'un pourrait-il m'aider?
Merci d'avance

Soit f: *----->
            x-----> e^{1/x}

Montrer que : n*, x*, f^{(n)}(x)= (-1)^nx^{-2n} e^{1/x}P_n(x)
où P_n(x) est un polynôme à coefficients réels de terme dominant n!x^{n-1} . Expliciter P_1.
Préciser la relation entre P_n et P_{n+1}.

2) De la relation f(x)=-x^2f^'(x), déduire une relation entre P_{n+1}, P_{n} et P_{n-1}

Posté par
dad97 Correcteurre : dérivation, récurence 04-04-05 à 20:47

Bonsoir thibaut-91,

Soit Hn (3$\rm n\in\mathbb{N}^*) la propriété : " 3$\rm\forall x\in\mathbb{R}^* , f^{(n)}(x)=(-1)^nx^{-2n}e^{\frac{1}{x}}P_n(x) avec P_n(x)\in\mathbb{R}[X] de terme dominant n!x^{n-1}"

* H1 est vérifiée en effet 3$\rm\forall x\in\mathbb{R}^* , f^{(1)}(x)=-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}=(-1)^1x^{-2\times 1}e^{\frac{1}{x}}\times 1 et 1 est bien un polynôme de R[X] de terme dominant 1!\times x^{1-1}=1

* soit n un entier naturel non nul tel que Hn soit vérifiée montrons qu'alors Hn+1 l'est aussi.

Puisque Hn est vérifiée on peut écrire f(n) sous la forme :

\rm f^{(n)}(x)=(-1)^nx^{-2n}e^{\frac{1}{x}}(n!x^{n-1}+\Bigsum_{k=0}^{k=n-2}a_kx^k)

3$\rm f^{(n+1)}(x)=[f^{(n)}(x)]^'

3$\rm =[(-1)^nx^{-2n}e^{\frac{1}{x}}(n!x^{n-1}+\Bigsum_{k=0}^{k=n-2}a_kx^k)]^'

3$\rm =(-1)^n[-2n\times x^{-2n-1}e^{\frac{1}{x}}(n!x^{n-1}+\Bigsum_{k=0}^{k=n-2}a_kx^k)+x^{-2n}\times (-\frac{1}{x^2})e^{\frac{1}{x}})(n!x^{n-1}+\Bigsum_{k=0}^{k=n-2}a_kx^k)+x^{-2n}e^{\frac{1}{x}}(n!\times (n-1)x^{n-2}+\Bigsum_{k=0}^{k=n-2}ka_kx^{k-1})

3$\rm =(-1)^{n+1}x^{-2(n+1)}e^{\frac{1}{x}}\times Q(x)

où Q appartient à R[X]

reste à montrer que Q a la forme voulue c'est à dire que son terme dominant est de la forme (n+1)!xn
3$\rm Q(x)=2n\times x(n!x^{n-1}+\Bigsum_{k=0}^{k=n-2}a_kx^k)+ (n!x^{n-1}+\Bigsum_{k=0}^{k=n-2}a_kx^k)+x^2(n!\times (n-1)x^{n-2}-\Bigsum_{k=0}^{k=n-2}ka_kx^{k-1})

exhibons les termes de plus haut degré de ce polynôme :
\\ 3$\rm 2nn!x^n-n!(n-1)x^n=n!(2n-n+1)x^n=(n+1)x^n

et donc Q est bien de la forme souhaitée.

Donc Hn implique Hn+1.

* Donc 3$\rm \forall n\in\mathbb{N}^*, \forall x\in\mathbb{R}^* , f^{(n)}(x)=(-1)^nx^{-2n}e^{\frac{1}{x}}P_n(x) avec P_n(x)\in\mathbb{R}[X] de terme dominant n!x^{n-1}

Salut

Posté par thibaut-91 (invité)re : dérivation, récurence 05-04-05 à 18:38

Bonjour, merci beaucoup de votre aide précieuse.

Thibaut

Posté par thibaut-91 (invité)dérivation+récurence (bis) 06-04-05 à 18:01

Soit f: *----->
            x-----> e^{1/x}  
          
Montrer que :n*,x*,f^{(n)}(X)= (-1)^nx^{-2n}e^{1/x}P_n(X)
où P_n(X) est un polynôme à coefficients réels de terme dominant n!x^{-n} .

J'ai trouvé le polynôme qrâce à l'aide de Dad97, et j'ai trouvé la relation:

P_{n+1}=(2nx+1)P_n+x^2P^'_n

Je suis bloqué. Quelqu'un aurait-il une idée de raisonnement pour ces questions?

*de larelation f(x)=-x^2f^'(x), déduire une relation entre P_{n+1},P_n et P_{n-1}

3) Montrer que: P^'_n=n(n-1)P_{n-1}
           x^2P^{''}_n+[2(1-n)x-1]P^'_n+n(n-1)P^_n=0

Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
franzre : dérivation, récurence 07-04-05 à 01:28

2/
Il faut appliquer la formule de Leibniz

\array{ccl$ f^{(n)}(x) & = & -\Bigsum_{k=0}^n\(\array{n\\ \vspace{3}\\k}\)\(x^2\)^{(k)}\(f^'\)^{(n-k)}(x) \\ \vspace{5} \\ & = & -\left[ \(\array{n\\ \vspace{3}\\0}\)x^2 f^{(n+1)}(x) + \(\array{n\\ \vspace{3}\\1}\)(2x) f^{(n)}(x) + \(\array{n\\ \vspace{3}\\2}\)(2) f^{(n-1)}(x) \right] \hspace{150} \rm (car les autres derivees de x^2 sont nulles)\\ \vspace{5} \\ & = & -x^2\,(-1)^{n+1}x^{-2(n+1)}e^{\frac{1}{x}}P_{n+1}(x) \;-\; 2nx\,(-1)^{n}x^{-2n}e^{\frac{1}{x}}P_n(x) \;- \; n(n-1)\,(-1)^{n-1}x^{-2(n-1)}e^{\frac{1}{x}}P_{n-1}(x) \\ \vspace{5} \\ \frac {(-1)^n}{x^{2n}}e^{\frac{1}{x}}P_n(x) & = & \frac {(-1)^n}{x^{2n}} e^{\frac 1 x} \left[ P_{n+1}(x)-2nx P_n(x)+n(n-1)x^2P_{n-1}(x) \right] }

Donc
        \large \red P_{n+1}(x)=(2nx+1) P_n(x)-n(n-1)x^2P_{n-1}(x)

3/
Comme tu as déjà montré que  \large \blue P_{n+1}(x)=(2nx+1) P_n(x)-x^2P^'_{n}(x)   (je pense qu'il y a une erreur de signe dans ce que tua as écrit dans ton énoncé) ,il vient immédiatement que
        \large \red P^'_{n}=n(n-1)P_{n-1}


En dérivant l'équation bleue on obtient
P^'_{n+1}(x)=2n P_n(x)+(2nx+1) P^'_n(x)-2xP^'_n(x)-x^2P^{''}_{n}(x) = -x^2P^{''}_{n}(x) +(2(n-1)x+1) P^'_n(x) +2n P_n(x)

Or d'après ce ce qu'on vient de montrer    P^'_{n+1}=(n+1)nP_{n}

Donc
           \large \red 0= x^2P^{''}_{n}(x) -(2(n-1)x+1) P^'_n(x) +n(n-1) P_n(x)

Posté par thibaut-91 (invité)re : dérivation, récurence 09-04-05 à 20:10

merci beaucoup franz, oui en effet je me suis trompé de signe.
bonne continuation

Posté par
franzre : dérivation, récurence 12-04-05 à 20:47

Avec plaisir.


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