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Dérivation série de fonctions

Posté par
bouri 17-11-23 à 14:35

Bonjour,

Je "connais" le théorème de dérivation des séries de fonctions suivant :
- Si pour tout n, fn est de classe C1 sur I
- \sum f_n converge simplement sur I vers une fonction S
- \sum f_n' converge uniformément sur tout segment de I

Alors S est de classe C1 et S'=\sum_{n=0}^{+\infty} f_n'

Mais je vois parfois que la convergence normale de \sum f_n permet de remplacer les 2 dernières conditions.
Est-ce vrai ?
Comment démontrer que ce 2e résultat peut-être déduit du premier ?

Merci d'avance

Posté par
carpediemre : Dérivation série de fonctions 17-11-23 à 18:03

salut

qu'apporte la convergence normale par rapport à la convergence simple ou uniforme de série de fonctions ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Dérivation série de fonctions 17-11-23 à 22:45

Bonjour

\Large\boxed{\Sum\frac{\sin(2^nx)}{2^n}}

Posté par
bourire : Dérivation série de fonctions 19-11-23 à 11:28

carpediem @ 17-11-2023 à 18:03

salut

qu'apporte la convergence normale par rapport à la convergence simple ou uniforme de série de fonctions ?


La convergence normale implique la convergence uniforme qui implique la convergence simple

Mais dans le 2e théorème, il n'y a pas d'hypothèse sur la série des dérivées...Est-ce que la convergence normale de  \sum f_n implique la convergence uniforme de \sum f_n' sur tout segment ?

Posté par
bourire : Dérivation série de fonctions 19-11-23 à 11:33

elhor_abdelali @ 17-11-2023 à 22:45

Bonjour

\Large\boxed{\Sum\frac{\sin(2^nx)}{2^n}}


Si on note f_n(x) = \dfrac{\sin(2^nx)}{2^n} alors \Vert f_n \Vert_{\infty}\leq \dfrac{1}{2^n} donc \sum f_n converge normalement

Mais f_n'(x) = \cos(2^nx) et \sum f_n' ne converge pas simplement

Donc la convergence normale de série des \sum f_n ne permet pas de démontrer que sa somme est C1

Merci !

Y a-t-il un résultat avec convergence normale qui permet d'avoir des informations sur la somme de la série des dérivées ?

Posté par
carpediemre : Dérivation série de fonctions 19-11-23 à 12:03

tu peux regarder là pour avoir des conditions suffisantes

Posté par
bourire : Dérivation série de fonctions 19-11-23 à 19:09

Merci !


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