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Dérivé de la fonction Ln

Posté par smad74 (invité) 01-03-05 à 14:42

Bonjour, j'ai besoin de votre aide sur cet exo.

f(x)=1/2 Ln ((1+x)/(1-x))

Je dois montrer que f est impaire et calculer sa dérivée.

Merci d'avance pour votre coup de main.

Posté par
Océane Webmasterre : Dérivé de la fonction Ln 01-03-05 à 14:50

Bonjour smad74

Pour montrer que f est impaire, il faut déjà vérifier que l'ensemble de définition de f est symétrique par rapport à 0, puis que f(-x) = -f(x).
Le premier point, je te laisse vérifier, pour le duxième, voici un petit peu d'aide :
f(-x) = \frac{1}{2} \ln \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{1}{2} (\ln (1 - x) - \ln (1 + x))\\ = -\frac{1}{2} (\ln (1 + x) - \ln (1 - x)\\ = -\frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x} = -f(x)

J'ai essayé de tout détailler, mais si tu ne comprends pas, n'hésite pas à poser des questions.


Pour la dérivée :
f est de la forme ln u et (ln u)' = u'/u.

Ici : u = (1 + x)/(1 - x)

Je te laisse faire les calculs, tu devrais trouver 3$ f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}\frac{\frac{1 - x + 1 + x}{(1 - x)^2}}{\frac{1 + x}{1 - x}}


A toi de reprendre, bon courage ...

Posté par smad74 (invité)re : Dérivé de la fonction Ln 01-03-05 à 15:04

f'(x)=1/(1-x2)   C'est ça?

Posté par
Océane Webmasterre : Dérivé de la fonction Ln 01-03-05 à 15:10

C'est ce que je trouve aussi

Posté par smad74 (invité)re : Dérivé de la fonction Ln 01-03-05 à 15:15

Ok, merci pour votre aide.

Posté par
Océane Webmasterre : Dérivé de la fonction Ln 01-03-05 à 15:16

De rien

Posté par smad74 (invité)re : Dérivé de la fonction Ln 01-03-05 à 15:21

J'ai encore une petite question...
Je dois prouver que pour tout x on a f(th x)=x

th est prit pour tangente hyperbolique.

Posté par
Océane Webmasterre : Dérivé de la fonction Ln 01-03-05 à 15:27

Il faut utiliser la formule suivante :
Argth x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}

Posté par smad74 (invité)re : Dérivé de la fonction Ln 01-03-05 à 15:59

Si j'ai bien compris f(x) est l'inverse de th(x).
Quelqu'un pour confirmer?


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