Niveau école ingénieur

dérivé fonction inverse (arccos)', de la dérivée fonction (cos)'

Posté par
henrihilan 17-01-10 à 15:20

Bonjour!

Je dois pour mes examens retenir les dérivées de fonction usuelles. Cependant j'ai entendu parlé d'une méthode qui permette de trouver les dérivées des fonctions inverse ( comme arccos, arcsin, ect) à partir de la dérivée de la fonction. Malheuresement je n'ai pas eu toute les informations pour comprendre la formule.

Je sais qu'il faut poser une chose commme ca:
$cos(arcos(x)=x$
donc $/times {cos'(arcos(x)}{arcos'(x)}=1$

On fonction de celà on bidouille pour trouver arcos'(x), mais là j'ai pensé qu'il suffisait d'un peu d'algèbre pour trouver la dérivée. Mais je tombe sur la mauvaise réponse

Quelqu'un connaitrais t'il cette technique miracle qui me permettera de feignacer un peu plus

Posté par re : dérivé fonction inverse (arccos)', de la dérivée fonction ( 17-01-10 à 15:29

Bonjour

arccos(cos(x))=x, on dérive :

arccos'(cos(x))(-sin(x)) = 1

on pose cos(x)=t donc sin(x) = $\sqrt{1-cos^2x}=\sqrt{1-t^2 }$ et on obtient arccos'(t)= $\frac{-1}{\sqrt{1-t^2 }$

Posté par re : dérivé fonction inverse (arccos)', de la dérivée fonction ( 17-01-10 à 15:29

Bonjour

Je ne te conseille pas de remplacer la connaissance "par coeur" par ladite formule, surtout pour un examen!

La voilà quand même

$\cos(\arccos(x))=x$

$-\sin(\arccos(x))(\arccos'(x))=1$

Or, sans précaution sur les intervalles, $\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-(\cos(\arccos(x)))^2}=\sqrt{1-x^2}$ et ça marche! Bien entendu toute la difficulté est dans le choix des intervalles!

Voici le théorème: $f:I\to J$ dérivable à dérivée non nulle et bijective. Alors pour $y=f(x)\in J$ on a $(f^{-1})^'(y)=\frac{1}{f'(x)}$

Pas très pratique, parce qu'il faut connaitre $f^{-1}$