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dérivée

Posté par
meli44 29-09-07 à 11:24

Bonjour,

Et oui je suis bloquée à une dérivée d'une fonction (no comments!)
Il faut que j'étudie les variations de cette fonction pour en trouver le sup (car j'étudie la convergence uniforme )

Voici la fonction définie pour x [0;1],
fn(x)=x2^n - x2^n+1

Pour moi f'(x) = 2n (x2^n-1 -2x2^n)
2n > 0 donc il faut étudier le signe de ce qu'il y a dans la parenthèse et là je coince, faut-il encore dériver? ou passer à l'exponentielle avec la formule xa=ea ln x?

si vous avez des idées, n'hésitez pas,

Merci d'avance

Cordialement

Posté par
Roulianere : dérivée 29-09-07 à 11:31

bonjour,

tu t'es trompée dans la dérivée du 2nd terme

Posté par
meli44re 29-09-07 à 11:33

la dérivée de x2^n vaut bien 2n*x2^n-1?

De même,la dérivée de x2^n+1 vaut bien 2n+1*x2^n?

Merci

Cordialement

Posté par
Roulianere : dérivée 29-09-07 à 11:35

c'est 2^n+1 ou 2^{n+1} en exposant ?

Posté par
Galiléere : dérivée 29-09-07 à 11:36

Bonjour,
tu peux factoriser par x^2n qui est toujours positif et tu obtients comme terme dans la parenthèse : (1/x-2)=(1-2x)/x dont on trouve facilement le signe...

Posté par
Tigweg Correcteurre : dérivée 29-09-07 à 11:37

Bonjour à tous,

non elle est juste ta dérivée!(mal réveillé, Rouliane? )



Pour trouver le signe de f', tu peux encore y factoriser x^{2^n-1}, meli.


Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : dérivée 29-09-07 à 11:37

Lol j'arrive trop tard

Posté par
Roulianere : dérivée 29-09-07 à 11:40

ah non, je ne suis pas d'accord

Si le 2ème terme s'écrit 3$ x^{2^n+1} sa dérivée est 3$ (2^n+1)x^{2^n}
Si le 2ème terme s'écrit 3$x^{2^{n+1}} sa dérivée est 3$(2^{n+1})x^{2^{n+1}-1}

On retrouve de toute façon jamais ce qu'a fait meli44, qui semble avoir fait un mix des 2.

je me trompe ?

Posté par
Galiléere : dérivée 29-09-07 à 11:43

Non tu as raison

Posté par
Galiléere : dérivée 29-09-07 à 11:44

mais le principe reste le meme pour trouver le signe ce qui se trouve entre parenthèse

Posté par
Tigweg Correcteurre : dérivée 29-09-07 à 11:45

Oups tu as raison Rouliane, c'est moi qui suis mal réveilé!
Je me suis laissé avoir par l'ambiguïté des écritures!

Donc en effet, dis-nous quelle formule proposée par Rouliane correspond à ta fonction, meli!

Posté par
meli44quelle ambiguité 29-09-07 à 13:19

dsl d'avoir cette ambiguité là, mais la fonction s'écrit bien avec deux exposants à savoir

x2n+1

dsl de l'avoir mal écrit

Donc je me suis trompé dans la dérivée à cause du -1 que je mettais en exposant alors qu'il ne fallait pas le mettre, c'est bien cela?

dsl de poser des questions aussi "triviales" que celles-ci, dsl de vous déranger juste pour une dérivée!!!

Merci

Cordialement

Posté par
Tigweg Correcteurre : dérivée 29-09-07 à 13:32

Ce n'est toujours pas clair!

Le 1, il est à côté du 2^n, ou à côté du n, autrement dit l'exposant est-il

2^n+1 ou 2^{n+1}?


On va y arriver!

Posté par
meli44j'ai trop de mal 29-09-07 à 14:49

dsl je me rends compte que j'ai mal écrit

c'est 2n+1
C'est la deuxième version que vous avez donné
x est à la puissance deux qui elle même est à la puissance n+1 (je ne sais pas si c'est mieux que de le dire comme ça)

Merci et encore désolé

Cordialement

Posté par
Tigweg Correcteurre : dérivée 30-09-07 à 13:16

Ok pas de problème!

Donc la dérivée est:


5$f_n'(x)=2^nx^{2^n-1}\;-\;2^{n+1}x^{2^{n+1}-1}\;=\;2^nx^{2^n-1}(1-2x^{2^n})


puisque la somme des exposants


5$2^n+2^n-1 vaut bien 5$2^{n+1}-1.


Ainsi fn est strictement croissante sur 5$[0;(\frac 1 2)^{\frac 1 {2^n}}] et strictement décroissante sur 5$[(\frac 1 2)^{\frac 1 {2^n}};1]. .



Ainsi on a, compte tenu de ce que pour tout réel a, 5$\;a^{2^{n+1}}\;=\;(a^{2^n})^2:



5$sup_{x\in [0;1]}^\;f_n(x)\;=\;f_n((\frac 1 2)^{\frac 1 {2^n}})\;=\;((\frac 1 2)^{\frac 1 {2^n}})^{2^n}\;-\;([(\frac 1 2)^{\frac 1 {2^n}}]^{2^n})^2\;=\;\frac 1 2\;-\;\frac 1 4\;=\;\frac 1 4.



Cette borne supérieure ne tend pas vers 0 lorsque n tend vers +\infty, bien que la limite simple de f_n soit la fonction nulle.
Conclusion: f_n ne converge pas uniformément sur [0;1].


Tigweg


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