Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

dérivée

Posté par
romu 29-09-07 à 13:58

Bonjour, je viens d'avoir une nouvelle définition de la dérivée et je voudrais savoir comment coïncide-t-elle avec l'ancienne définition que j'avais:


On dit qu'une fonction réelle n=n(h) définie sur ]-r,r[ est négligeable par rapport à |h| quand h tend vers zéro si

(1)\quad \quad \forall \varepsilon>0\quad \quad \exists \alpha>0,\quad |h|\geq \alpha \Rightarrow |n(h)|\geq \varepsilon |h|.

On écrit simplement "n(h) = o(|h|) si h\rightarrow 0".



Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I de \mathbb{R}. Soit x_0 un point de I.


(i) nouvelle définition:

On dit que f est dérivable en x_0 de dérivée l si

4$f(x_0+h) = f(x_0)+lh+o(|h|) si h\rightarrow 0



(ii) ancienne définition:

On dit que f est dérivable en x_0 de dérivée l si

4$\lim_{x\rightarrow x_0,\ x\neq x_0}\ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = l



Déjà pour passer de la nouvelle définition à l'ancienne, j'ai un souci:

au début je fais \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = l+\frac{o(|h|)}{h}, mais je ne vois pas continuer? (la manipulation du petit o me trouble)


Merci pour vos indications

Posté par
romure : dérivée 29-09-07 à 14:07

Pardon je me suis trompé,

pour (1), je voulais dire


4$(1)\quad \quad \forall \varepsilon>0 \quad \quad \exists \alpha>0,\quad \quad |h|\leq \alpha \Rightarrow |n(h)|\leq \varepsilon|h|


Posté par
ombere : dérivée 29-09-07 à 14:24


Comme ton "h" tend vers 0,on retrouve bien la même chose que dans "l'ancienne " définition pour le terme de gauche.
Quant au terme de droite : l+o(|h|)/h , je comprends que tu aies des difficultés avec cette notation (si tu es en sup) mais tu verras qu'il n'y a rien de compliquer la dedans: dans la définition du o(|h|), tu dois comprendre que le terme o(|h|)/h tend vers 0
Donc en fait, le terme de droite : l+o(|h|)/h , est un "truc" qui tend vers l quand h tend vers 0.
Cette nouvelle définition de la dérivées est donc la même que l'ancienne.
Tchao et bon courage

Posté par
romure : dérivée 29-09-07 à 14:35

Bonjour ombe et bienvenue sur l'île (apparemment c'est ton premier message)

oui donc je peux remplacer o(|h|) par n(h) et du coup n(h)/h = \frac{o(|h|)}{h} et on voit bien avec (1) que ça tend vers 0
(oui le souci c'était juste que si je me suviens vien on m'avait dit qu'une égalité avec le petit o n'est pas vraiment une égalité, et du coup je ne sais pas vraiment le manipuler)

sinon je ne suis pas en sup, je suis plutôt en inf

Bon en tout cas merci pour tes explications Ombe.

Posté par
ombere : dérivée 29-09-07 à 14:40

En fait on dit que ce n'est pas vraiment une égalité parce que c'est une limite,ce qui est assez abstrait..
En tous cas, ne t'inquiète pas, les débuts en sup sont souvent difficiles mais par la suite ça va mieux (je sais de quoi je parle, je suis passée par là).

Allez bon courage et bonne continuation !

Posté par
romure : dérivée 29-09-07 à 14:43

merci, mais je ne suis pas en sup, je suis en troisième année à la fac (plus inquiétant )

tu peux consulter les profils des gens à qui tu parles en cliquant sur le petit personnage qui est dessiné en haut à droite de chaque post

Posté par
ombere : dérivée 29-09-07 à 14:51

ok merci pour le conseil !

C'est la reprise donc bon c'est pas trop grave, t'as eu le temps d'oublier pas mal de trucs mais faut réviser quand même.En tous cas, tu as raison d'essayer d'éclaicir ce que tu ne comprends pas, c'est une bonne démarche.

Eh bien bonne chance pour ta licence !

Posté par
romure : dérivée 29-09-07 à 14:51

merci, et à bientôt sur l'île

Posté par
romure : dérivée 29-09-07 à 22:28

Soient E=\mathbb{R}^n et F=\mathbb{R}^p munis de normes quelconques.

a) On dit qu'une fonction g=g(h) définie pour un certain r>0 sur B(0_E,r) et à valeurs dans F est négligeable par rapport à ||h|| si h\rightarrow 0 si

4$(I.10)\quad \quad \forall \varepsilon>0,\ \exists \alpha<r,\ ||h||<\alpha \Rightarrow ||g(h)||\leq \varepsilon ||h||

On écrit encore sous ceci sous la forme "g(h)=o(||h||) si h\rightarrow 0".

b) Soit a un point d'une partie ouverte U de E=\mathbb{R}^n. On dit qu'une application f de U dans F est dérivable en a s'il existe une application linéaire L de E dans F telle que

4$(I.10)\quad \quad f(a+h) = f(a)+L(h)+o(||h||)\quad \quad \mbox{ si } h\rightarrow 0.

Alors on suite vient un lemme dont la démonstration ne m'est pas claire:

Lemme I.4:

S'il existe une application linéaire L de E dans F, vérifiant (I.11), alors elle est unique.

preuve:

Considérons une application linéaire L' telle qu'on ait aussi

3$f(a+h)=f(a)+L'(h)+o(||h||) \quad \quad \mbox{ si } h\rightarrow 0.

D'où par différence en posant M=L-L'.

3$M(h)=o(||h||) \quad \quad \mbox{ si } h\rightarrow 0\\ \\ \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0 ||M(h)||\leq \varepsilon ||h|| \quad \quad \mbox{ pour } ||h||\leq \delta

Or comme M=L-L' est linéaire, l'inégalité ||M(h)||\leq \varepsilon ||h|| vaut pour tout h\in \mathbb{R}^n.

Il en résulte Mh=0 pour tout h; soit M=0 et L=L'.

Je ne vois pas déjà pourquoi 3$M(h)=o(||h||) \quad \quad \mbox{ si } h\rightarrow 0 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 29-09-07 à 22:38

Bonsoir à tous

romu >

On sait que \Large{f(a+h)-f(a)-L(h)=o(||h||)} et que \Large{f(a+h)-f(a)-L'(h)=o(||h||)} lorsque h tend vers 0.
Ainsi, en soustrayant membre à membre, on obtient bien ce que l'on veut, non ?

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 29-09-07 à 22:47

Bonsoir Kaiser, justement je ne comprends pas vraiment comment ça fonctionne

si je soustrait membre à membre, je trouve :

4$L(h) - L'(h) = o(||h||) - o(||h||)

ça signifie que o(||h||) - o(||h||) = o(||h||)?

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 29-09-07 à 22:53

Effectivement (il suffit de revenir à la définition pour s'en rendre compte) et bien sûr ça ne fait pas 0.
En effet, c'est quelque chose de locale et les o(||h||) peuvent être très différents (globalement)
Exemple :

lorsque h tend vers 0, \Large{h^2=o(h)} mais on a aussi \Large{h^3=o(h)}. Pourtant la différence n'est pas nulle mais est tout de même un o(h).

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 29-09-07 à 23:10

d'accord, je vois.
merci pour ton aide Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 29-09-07 à 23:10

Mais je t'en prie !

Posté par
romure : dérivée 29-09-07 à 23:28

pourquoi le fait que L est linéaire entraîne que l'inégalité ||M(h)||\leq \varepsilon ||h|| vaut pour tout h\in \mathbb{R}^n ?

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 29-09-07 à 23:36

si h est nul, c'est évident.
Sinon, le vecteur \Large{\delta \frac{h}{||h||}} est de norme inférieure (en fait, égale) à \Large{\delta}et donc il vérifie l'inégalité.

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 29-09-07 à 23:44

ah oui d'accord merci, j'imagine que c'est une méthode classique?

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 29-09-07 à 23:52

Effectivement, c'est une méthode classique (et donc une astuce à retenir ).

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 00:28

ok, je retiens la leçon

il y a un autre théorème que je ne vois pas comment démontrer:

Soient E=\mathbb{R}^n et F=\mathb{R}^p munis de normes quelconques.
Soient U une partie ouverte de E et une application f:U\rightarrow F
On suppose que F=\bigoplus_{j=1}^p F_j, donc il existe p fonctions f_j:U\rightarrow F_j telles que

4$\forall x \in U,\qquad f(x) = f_1(x)+\cdots + f_p(x)


Théorème: Pour tout a\in U, on a

f dérivable en a \Leftrightarrow chaque composante f_j est dérivable en a.

Je ne vois pas comment montrer l'implication directe \Rightarrow.

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 30-09-07 à 00:32

Fais intervenir les projecteurs \Large{p_i} associés à cette décomposition en somme directe.
Par ailleurs, comme on est en dimension finie, utilise le fait que ces projecteurs étant des applications linéaires, sont continus.

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 00:47

d'accord déjà f est dérivable en a.

On a f'(a)=f'_1(a)+\cdots+f'_p(a), avec f'_i(a)\in F_i.

Ensuite

f(a+h) = f(a)+L(h)+o(||h||) si h\rightarrow 0.

on pose L_j := pr_j\circ L

Donc 4$f_1(a+h) +\cdots f_p(a+h) = f_1(a) +\cdots f_p(a)+L_1(h)+\cdots+L_p(h)+o(||h||)\qquad \mbox{ si } h\rightarrow 0.

avec la décomposition en somme directe j'aurai tendance à dire que l'on a du coup,
mais avec cette histoire de petit o, c'est ici que je dois me servir de la continuité des projecteurs?

3$f_1(a+h) = f_1(a)+L_1(h)+o(||h||) si h\rightarrow 0.
..........
.........
..........
3$f_p(a+h) = f_p(a)+L_p(h)+o(||h||) si h\rightarrow 0.

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 30-09-07 à 00:55

Pour ta première égalité, je te conseille de na pas écrire \Large{f_1'(a)}etc (ça suppose que tu sais déjà que tes fonctions sont dérivables).

Pour la fin, il suffit de remplacer o(||h||) par ||h||g(h) (avec g qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0).
Ensuite, applique le projecteur et montre que tu as encore un o(||h||) (en utilisant la continuité du projecteur).

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 01:04

ah oui c'est vrai que c'set imprudent comme écriture.

Sinon il y a quelque chose qui m'échappe,

dans la définition de (I.10) de mon post de mon post du 29/09/2007 à 22:28, la dérivée au point est L est un élément de \mathcal{L}(E,F) (l'ensemble des applications linéaires de E dans F), et ici c'est un élément de F.

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 30-09-07 à 01:08

en fait, il y a confusion.
Ici, f'(a)=L et pour tout i, \Large{f_{i}'(a)=L_i}.
(en fait, lorsqu' on travaille avec plusieurs variables on parle plutôt de différentielle que de dérivée).

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 02:11

Donc en fait on a

f(h)=o(||h||)\quad \mbox{ si } h\rightarrow 0 si et seulement si il existe une fonction g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} telle que f(h)=||h||g(h) \mbox{ si } h\rightarrow 0 et \lim_{h\rightarrow 0} g(h) = 0.

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 02:39

ah non pardon, je confonds tout, g est à valeurs dans F, et est définie sur une partie de E que j'ai du mal à déterminer.

Vu la définition (I.10), f est définie sur une boule ouverte B(O_E,r) pour un certain r>0,
je me demandais si g doit être définie sur tout E, ou sur la même boule que f, ou sur une autre boule centrée en 0_E.

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 03:08

Je reformule, donc on doit avoir cette propriété pour faire ce que tu as dit kaiser:

3$f(h)=o(||h||) \qquad \mbox{ si } h\rightarrow 0 si et seulement si il existe une application 3$g:B(0_E,r)\rightarrow F,\qquad \lim_{h\rightarrow 0} g(h) = 0 telle que 3$f(h)=||h||g(h) \mbox{ si } h\rightarrow 0.

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 30-09-07 à 11:32

pour ton message de 2h39 > non, g est a priori défini uniquement dans un voisinage de 0.
Pour ton message de 3h08 > c'est bien ça (pour un certain r > 0).

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 15:13

Bonjour Kaiser,

pour la formule de mon message de 3h08:

pour l'implication réciproque:

Je suppose qu'il existe une application g:B(0_E)\rightarrow F,\qquad \lim_{h\rightarrow 0} g(h)=0,
               3$f(h)=||h||g(h),\qquad h\rightarrow 0

Comme \lim_{h\rightarrow 0} g(h)=0,

on a

3$\forall \varepsilon>0,\qquad \exists \alpha\in ]0,r[:\qquad ||h||\leq \alpha \Longrightarrow ||g(h)||\leq \varepsilon

et donc

3$\forall \varepsilon>0,\qquad \exists \alpha\in ]0,r[:\qquad ||h||\leq \alpha \Longrightarrow ||f(h)||=||h||. ||g(h)||\leq ||h|| \varepsilon,

d'où

3$f(h)=o(||h||)\qquad \mbox{ si } h\rightarrow 0

En revanche pour l'implication directe, je ne vois pas comment montrer l'existence de g?

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 30-09-07 à 15:17

en fait, tu vas avoir p fonctions \Large{g_i} qui vont être des fonctions qui tendent vers 0 en composant par les projecteurs (qui sont continue et linéaires et donc tendent vers 0 en 0).

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 15:26

cela veut dire que je peux me ramener sans perdre de généralité au cas où F=\mathbb{R} alors, non?

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 30-09-07 à 15:28

Pourquoi \Large{\mathbb{R}} ?
tes fonctions qui vont tendre vers 0 sont les \Large{p_iog}

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 15:41

je suis un peu perdu

je suppose que f(h)=o(||h||) \mbox{ si } h\rightarrow 0,

c'est à dire

\forall \varepsilon>0,\qquad \exists \alpha\in ]0,r[,\qquad ||h|| \leq \alpha \Rightarrow ||f(h)||\leq \varepsilon ||h||

à partir de là, je dois construire des g_i afin de construire g à l'aide des projecteurs ???

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 30-09-07 à 15:47

mais en fait, il n'y a pas de f (il ne faut confondre avec la fonction f de départ) : c'est plutôt g.

Sinon, il faut construire les fonctions \Large{g_i} à l'aide de g et des projecteurs.

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 23:06

mais quand je parle de f,je parle de la fonction f que j'ai sorti dans la propriété de mon post du le 30/09/2007 à 03:08.

Donc en fait, j'ai procédé comme ça, après avoir cherché cet après-midi mais je ne suis pas sûr de ce que j'ai fait parce que je n'ai pas utilisé de projecteurs

donc pour l'implication directe:

Pour tout h\in B(O_E,r)\subset E, on pose g(h)=\frac{f(h)}{||h||} si h\neq 0_E, et g(0_E)=0_F.


f est négligeable par rapport à ||h|| si h\rightarrow 0, donc

si h=0_E, pour tout \varepsilon>0, il existe \alpha>0 tel que ||0_E||\leq \alpha \Rightarrow |f(0_E)|\leq \varepsilon \times ||0_E||, donc f(0_E)=0_F.

si h\neq 0_E, f(h) = ||h|| \frac{f(h)}{||h||} = ||h|| g(h).

Donc pour tout h\in B(O_E,r), on a f(h)=||h||g(h).


Soit \varepsilon>0. Il existe \alpha>0 tel que ||h||\leq \alpha entraîne que ||f(h)||\leq \varepsilon ||h||.

si h=0_E, ||g(0_E)|| = ||0_F|| < \varepsilon.

si h\neq 0_E, ||g(h)|| = \frac{f(h)}{||h||}\leq \varepsilon.

Donc \lim_{h\rightarrow 0} g(h) = 0.

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 30-09-07 à 23:11

Ah d'accord, je n'avais pas compris désolé.
Je pensais que tu étais encore dans ton exo (bref pas besoin de projecteurs ici ).
Bref, ce que tu as fait est correct.

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 23:13

Si ma démo est valide je vais enfin pouvoir utiliser ton indication de ton post du 30/09/2007 à 00:55 pour montrer l'implication directe du théorème de mon post du 30/09/2007 à 00:28. (Je dis ça pour me repérer aussi )

Posté par
romure : dérivée 30-09-07 à 23:14

ah ok, merci, je retourne alors creuser ton indication de ton post du 30/09/2007 à 00:55

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 30-09-07 à 23:18

OK !

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 01-10-07 à 00:00

ok donc si je suis ton indication, on a

f est dérivable en a, donc il existe L\in \mathcal{L}(E,F) tel que 4$f(a+h) = f(a)+L(h)+o(||h||),

donc il existe une application g:U\rightarrow F telle que \lim_{h\rightarrow 0_E} g(h) = 0_F et 3$f(a+h) = f(a)+L(h)+||h||g(h),

d'où 3$f(a+h) - f(a)-L(h)=||h||g(h),

donc pour tout i\in \mathbb{[}1,p\mathbb{]}, on a

4$pr_i(f(a+h)-f(a)-L(h))=pr_i(||h||g(h)),

ie 4$f_i(a+h)-f_i(a)-L_i(h)= ||h|| pr_i(g(h)),

L_i=pr_i\circ L et est donc linéaire, et reste donc à montrer que pr_i\circ g tend vers 0 quand h tend vers 0.
Et donc ça je dois le montrer en utilisant le fait que pr_i est linéaire et continue c'est bien ça?
  

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 01-10-07 à 00:02

C'est bien ça !

Kaiser

Posté par
romure : dérivée 01-10-07 à 00:56

ok c'est bon,

merci Kaiser pour ta patience

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée 01-10-07 à 11:35

Mais je t'en prie !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !