Bonjour,

je pense que tu n'as pas besoin de préciser que ton segment est un compact si h petit, quelque soit h, le segment est un compact et donc ta fonction qui est CONTINUE, est bornée sur ce segment et grâce à la compacité atteint ces bornes

Pour la suite, on peut essayer d'utiliser l'argument de dérivée
u'(t) = lim lorsque h tend vers 0 de
donc pour un h assez petit on a
|||| ||u'(t)||
d'où
|||| k||u(t)|| par hypothèse
||u(t+h)-u(t)||||h|| k||u(t)||M||h|| k
ensuite il reste à montrer que M ||u(t+h)-u(t)||

ça t'irai ?

Bonjour

@romu : utilise l'inégalité des accroissements finis sur un intervalle de longueur h (au pif, celui dans lequel le point M est introduit

@mellepapillon : j'ai du mal à comprendre pourquoi l'argument de la limite te permet de justifier l'inégalité dans ce sens ! et si le taux d'accroissement tends vers la dérivée par valeur supérieure?

Je viens de penser à toi, j'ai trouvé quelque chose de plus simple dans un bouquin de calcul différentiel… en cherchant un autre truc, le hasard n'existe pas !
On peut lire :
«  on a ||u'(t)|| <= kM d'où par l'inégalité de la moyenne entre to et t
||u(t)||<= kM |t-to| <= kMh

Par suite M<=kMh et M=0 si on choisit h assez petit pour que kh <1  alors u est identiquement nulle sur ton segment

L'ensemble des points de I (l'ensemble initiale sur lequel u est définie «) où s'annule u est donc ouvert dans I ( si u s'annule en to elle s'annule au voisinage), fermé dans I ( car u est une fonction continue sur I), contient le point donné to. Comme I est connexe, cet ensemble est I tout entier. «

Je pense que ceci pourra t'être utile 

bonjour et merci à vous.

Pour la 3) justement je me demandais si il n'y avait pas un autre moyen qu'utiliser explicitement la connexité pour achever la question 3), peut être par des arguments de bornes

En réfléchissant, moi je n'ai pas d'autre idée, la connexité est l'hypothèse de rêve, fermé et ouvert sur un connexe et tout ça c'est magnifique!

oui bien sûr mais cela demande quand même de connaître la connexité, ce qui n'est pas sensé être le cas. C'est pour ça je pensais que ça pouvait s'exprimer en termes plus élémentaires.

En tout cas merci pour ton aide mellepapillon.

J'ai vu que tu étais en licence, moi aussi, j'ai eu une chapitre sur la connexité au premier semestre en topologie , ce n'est pas votre cas ?

Ben pour la 3 je dirai : au voisinage de to, h tends vers 0

si M et k non nul, on a donc hkM tends vers 0, donc contradiction (car au passage aux limites : on obtient M   0 et on a supposé M > O

donc M = O, donc au voisinage de to, la fonction est nulle

non ?

oublie ce que je viens de dire je viens de relire la question   dsl !

non, apparemment il y a pas mal d'inscrits en calcul diff qui n'ont pas fait topologie, donc le prof essaie tant que possible d'éviter les notions toplogiques.

Pour la topologie au premier semestre on a fait l'étude des espaces métriques, et comme notion on a pas vu la connexité, vite fait la compacité à la fin. On complète les notions topologiques ce semestre en analyse fonctionnelle où on y voit depuis une semaine la connexité.

ah d'accord, vous ne faites pas les choses comme dans notre fac, mais nous ne faisons pas d'analyse fonctionnelle, nous avons eu au premier semestre algèbre avec groupe anneaux et groupe linéaire, et en topo nous avons bien vu la connexité, la compacité,la complétude aussi.
Pour ce semestre nous avons calcul diff et intégration et théorie de la mesure et la topologie sert très souvent!

allez bon courage et bonne journée

ah oui non pardon, on prend quelconque dans {zéros de u} en fait, et du coup {zéros de u} est voisinage de chacun de ses points.

Merci à vous