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dérivée 2

Posté par
leilaserad 02-12-21 à 20:14

Bonsoir:
Voici le deuxième exercice de mon dm.
Soit f la fonction définie sur privé de -1,1 par : f(x)=2x au cube +3 divisée par x²-1
1. Déterminer lim f(x) quand x tend vers + l'infini et -l'infini.
2. Déterminer les limites de f en -1 et 1. Interpréter graphiquement ces limites.
3. Démontrer que, x privé de -1 et 1 , f'(x)= 2xg(x) divisée par (x²-1)²
4. Etudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de f.
5. Montrer que f()=3

Posté par
heklare : dérivée 2 02-12-21 à 20:20

Bonsoir

Qu'est-ce que vous proposez ?

f(x)=2x^3+\dfrac{3}{x^2-1},  x\in \R \setminus \{-1~;~1\}

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 02-12-21 à 20:28

enfaite le 2x au cube est coller au +3 enfaite c'est 2x au cube +3 divisée par x²-1
quand x tend vers + l'infini :
lim 2x au cube= + l'infini car par produit de 2 et + l'infini
lim 3= 3
donc lim du haut = + l'infini
pour la bas:
lilm x² -1=+l'infini car lim x²=+ l'infini et lim -1 = - 1
donc par quotient lim f(x)= f.i
Il faut factoriser pour lever l'indétermination :
x au cube (2x au cube/x au cube +3/x au cube ) / x ² (x²/x² -1/x²)
= x au cube (2+3/x au cube ) / x²(1-1/x²) = x(2+3/x au cube ) / ( 1-1/x²)  
lim x = + l'infini
lim 2 = 2
lim 3/x au cube = 0
lim 1 =1
lim -1/x²=0
donc le quotient = + l'infini que 1 donc c'est égale à + l'infini

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 02-12-21 à 20:35

quand x tend vers - l'infini :
lim 2x au cube +3 = - l'infini car lim 2x au cube = -l'inifini et lim 3 =3
lim du bas:
lim x²-1=+l'infini car lim x²= + l'infini et lim -1 =-1
ca fait une forme indéterminée il faut donc factoriser pour lever l'indétermination :
c'est la meme factorisation pour + l'infini
quand x tend vers -l'infini:
on peut reprendre le résultat : x(2+3/x au cube )/ 1-1/x²
lim x = - l'infini
lim 2 =2
lim 3/x au cube =0
lim 1 =1
lim - 1/x²=0
donc par quotient ca fait - l'infini

Posté par
heklare : dérivée 2 02-12-21 à 20:41

Si j'ai bien compris  f(x)=\dfrac{2x^3+3}{x^2-1}

ou en ligne (2x^3+3)/(x^2-1)

f(x)=\dfrac{x^3(2+\frac{3}{x^3})}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}=x\times \dfrac{(2+\frac{3}{x^3})}{1-\frac{1}{x^2}}

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{(2+\frac{3}{x^3})}{1-\frac{1}{x^2}}=2

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x\times 2=+\infty

D'accord

Posté par
heklare : dérivée 2 02-12-21 à 20:43

Pas la peine de tout recommencer  

on a bien \lim_{x\to -\infty}f=-\infty

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 02-12-21 à 20:48

oui c'est ca ducout pour x tend vers + l'infini le haut vaut + l'infini et le bas 1 ducout ca fait + l'infini et pour x tend vers - l'infini le haut fait - l'infini le bas 1 ducout ca fait - l'infini

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 02-12-21 à 20:49

ducout question suivante :
f(-1) = 0/0
ici il faut factoriser c'est ça?
mais je ne sais pas comment faire

Posté par
heklare : dérivée 2 02-12-21 à 20:54

si x=-1  alors 2x^3+3=1
Il n'y a pas de forme indéterminée.  En revanche il va falloir tenir compte si c'est à droite ou à gauche

Posté par
heklare : dérivée 2 02-12-21 à 20:58

Une illustration

dérivée 2

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 02-12-21 à 21:07

donc f(-1) = 1/ 0
on fait x²-1= 0 x =racine de 1 ou - racine de 1 donc c'est égale a 1 ou -1

x          - l'infini               -1                        +1                 + l'infini
x²-1                      +                          -                       +



limite à droite de -1:
x²-1<0  lim du haut = 1  
x>-1              x tend vers -1
                        x>-1

               lim du bas = 0 moins
               x tend vers -1
                        x>-1
donc par quotient 1/0 moin = - l'infini

limite a gauche de 1 :
x²-1>0           lim du haut = 1
x<-1                 x tend vers -1
                            x<-1
                           lim du bas = 0 plus
                           x tend vers -1
                           x <-1
donc par quotient 1/0plus = + l'infini

il y a une asymptote verticale x =-1 au voisinage de -1

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 02-12-21 à 21:16

Pour f(1)= 5/0
on garde le meme tableau
limite à droite:
x²-1>0     lim haut =5
x>1          x tend vers 1
                    x>1
                   lim bas= 0 plus
                    x tend vers 1
                    x>1
5/0 plsu = + l'infini

limite a gauche de 1 :
x²-1<0    lim haut =5
x<1          x tend vers 1
                  x<1

                 lim bas =0 moins
                   x tend vers 1
                  x<1

5/0 moins = - l'infini

Asymptote verticale x =1 au voisinage de 1

Posté par
heklare : dérivée 2 02-12-21 à 21:20

\lim_{x\to-1}(2x^3+3)=1

\lim_{\stackrel{x\to-1}{x<-1}}x^2-1=0^+

donc \lim_{\stackrel{x\to-1}{x<-1}} f(x)=+\infty

\lim_{\stackrel{x\to-1}{x>-1}}x^2-1=0^-

donc \lim_{\stackrel{x\to-1}{x>-1}} f(x)=-\infty



\lim_{x\to1}(2x^3+3)=5

\lim_{\stackrel{x\to1}{x<1}}x^2-1=0^-

donc \lim_{\stackrel{x\to1}{x<1}} f(x)=-\infty

\lim_{\stackrel{x\to1}{x>1}}x^2-1=0^+

donc \lim_{\stackrel{x\to1}{x>1}} f(x)=+\infty

deux asymptotes x=-1 et x=1

Posté par
heklare : dérivée 2 02-12-21 à 21:21

D'accord

Il manque la première partie g(x) n'est pas définie ici

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 02-12-21 à 21:31

D'accord merci on peut reprendre demain ?

Posté par
heklare : dérivée 2 02-12-21 à 21:33

Bien sûr  

Quelle heure  ? pas avant 13 h pour moi

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 08:36

Bonjour leilaserad

on peut se passer de l'écriture Ltx, mais alors, on doit absolument savoir manier les parenthèses
lis ceci :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?


Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 11:36

d'accord merci j'ai lue mais ducout de quoi parle hekla quand il dit qu'il manque le première partie sur g(x) qui n'est pas définie ?

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 12:15

dans ton énoncé tout là haut, dans la question 3 tu parles de g(x) mais nulle part tu n'as recopié ce que valait g(x)
tu as tu oublié de recopier une ligne

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 12:25

ah la fonction c'est f(x)= (2x au cube +3)/(x²-1)
c'est ça ?

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 13:01

je te parle de g(x), pas de f(x)

f(x)=\dfrac{2x^3+3}{x^2-1}

clique sur le code source de nos messages, tu verras comment nous écrivons les formules avec Ltx, et tu pourras même en faire des copier-coller, tu vas vite apprendre en faisant cela

dérivée 2

edit > si tu n'as pas ce petit symbole, tu vas dans ton espace membre, puis, mes préférences, puis tu coches "source accessible" oui

Posté par
heklare : dérivée 2 03-12-21 à 13:03

Bonjour

Non cela correspond à f(x)  question 3

on vous demande de montrer que f'(x)=\dfrac{2xg(x)}{(x^2-1)^2}

Posté par
heklare : dérivée 2 03-12-21 à 13:07

À mon avis, on vous a fait étudier une fonction polynôme de degré 3

on vous a demandé que\alpha tel que   g(\alpha)=0

question 5 \alpha n'est pas défini aussi

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 16:46

malou @ 03-12-2021 à 12:15

dans ton énoncé tout là haut, dans la question 3 tu parles de g(x) mais nulle part tu n'as recopié ce que valait g(x)
tu as tu oublié de recopier une ligne


non je n'ai pas oublier de recopier j'ai bien recopier tout ce qu'il y a écrit sur mon dm et il n'y a pas la valeur de g(x)

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 16:49

ah oui désoler c'est en lien avec la partie A je n'avais pas vu qu'il y avait deux parties dans l'exercice je pensais que c'était des exerices sépareé je vais vous recopier l'énoncer de la partie A

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 16:53

Partie A:
On considère la fonction g définie sur R par g(x)=x3-3x-3
1. Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation
2. Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution alpha dans R .
3. A l'aide la calculatrice, donner un encadrement de alpha à 10-2près.
4. A l'aide des résultats précédents, établir le tableau de signes de g(x).

Maintenant que j'ai écris la partie A je pense que je vais vous dire mes réponses pour cette partie la et vous me dites si c'est juste et ensuite on pourra continuer les dernières question de la partie B

Posté par
heklare : dérivée 2 03-12-21 à 17:04

Ce n'est pas la peine de mettre vos résultats sauf si vous voulez un contrôle

On a besoin pour le signe de f'(x) du signe g(x)
et d'une valeur approchée de \alpha

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 17:05

Partie A question 1:
g(x)= x3-3x-3
g'(x)= 3x2-3=0
Delta = b2-4ac = 36
x1=1 et x2=-1


[/td]
x     +l'infini                  -1                                   1                + l'infini
g'(x)          +                              -                                  +
g(x)        - l'infini                                                                   + l'infini


pour mettre les limite en + l'infini et - l'infini dans la ligne de g(x) j'ai fait les limite

quand x tend vers + l'infini
lim x3-3x-3
     x tend vers + l'infini

lim x3= + l'infini
lim -3x=-l'infini
lim -3=-3
par somme ca fait FI
donc factorisation :
x3(x3/x3-3x/x3-3/x2)
= x3(1-3/x2 -3/x3)
donc lim x3= + l'infini lim 1=1 lim -3/x2=0 et lim -3/x30 donc par somme ca fait 1 et par produit + l'infini et je l'ai mis dans le tableau a g(x) toute à droite

pour x tend vers - l'infini ca fait aussi FI donc meme factorisation que pour + l'infini et on trouve comme résultat - L'infini

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 17:07

hekla @ 03-12-2021 à 17:04

Ce n'est pas la peine de mettre vos résultats sauf si vous voulez un contrôle

On a besoin pour le signe de f'(x) du signe g(x)
et d'une valeur approchée de \alpha


je voulais que vous regardiez aussi mes réponse sur cette partie la

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 17:11

tu devras compléter ton tableau avec les images par g de -1 et de 1
et aussi montrer l'existence de alpha

pour le signe de g'(x), il n'est pas adroit de calculer le discriminant
tu mets 3 en facteur, puis factorisation du type a²-b²

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 17:37

l'image de -1 est -1 et l'image de 1 et -5
ensuite comment montrer l'existence de alpha

Posté par
heklare : dérivée 2 03-12-21 à 17:45

remarque  
pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué

3^x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1) ; \Delta c'est l'artillerie lourde

g(-1)=-1 et g(1)=-5

Avez-vous vu le th des valeurs intermédiaires  ?

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 17:47

ok
tu commences par dire qu'entre - l'infini et 1, ta fonction est toujours strictement négative donc que l'équation g(x)=0 ne peut pas admettre de solution
puis fonction continue strictement croissante de tel intervalle sur tel autre intervalle
d'accord ?

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 18:06

puis la fonction est continue strictement croissante sur - l'infini -1 et sur 1 + l'infini cest ça ?

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 18:07

mais en quoi ca montre l'existence de alpha ?5

Posté par
heklare : dérivée 2 03-12-21 à 18:16

Vous avez g(1)=-5 et \lim_{x\to+\infty}=+\infty

comme la fonction est continue et strictement croissante il y a une valeur supérieure à 1 pour laquelle g(x)=0

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 18:19

oui et donc on peut dire qu'il existe alpha ?

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 18:21

- l'infini et 1, la fonction est toujours strictement négative donc que l'équation g(x)=0 ne peut pas admettre de solution
puis fonction  continue strictement croissante sur - l'infini -1 et sur 1 + l'infini
On a g(1)=-5 lim =+l'infini
                            x tend vers + l'infini
Comme la fonction est continue et strictement croissante il y a une valeur supérieur à 1 pour laquelle g(x)=0 donc il existe alpha

c'est comme ca qu'il faut écrire ?

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 18:26

leilaserad, peux-tu recopier ici au mot près le théorème que tu as dans ton cours, qu'on voie comment l'adapter à ton exercice

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 18:34

théorème des valeurs intermédiaires
th 2 (cas général)
f continue sur I et, a,et b  2 réels de I
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que d(c)=k
En d'autres termes:
l'équation f(x)=k a au moins une résolution entre a et b.

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 18:36

OK
il va falloir coller à cet énoncé
le 1er réel est évident, tu prends a=1
que prends-tu pour b ?

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 18:39

-1 ?

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 18:47

ne réponds pas au petit bonheur

je te rappelle que pour le moment ton intervalle I c'est [1 ; +[ et que tu dois trouver a et b dans cet intervalle pour pouvoir appliquer ton théorème

je doute fort que -1 soit dedans

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 19:08

g(x)= x3-3x-3 sur I= 1; +l'infini

l'équation f(x)=1 a t-elle des solutions dans I?
F polynôme du 3 ème degré donc continue sur 1; + l'infini
f(1)= -5 et ici je ne sais pas je dois faire f de combein car c'est + l'infini

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 19:12

d'où sors-tu cela ? " l'équation f(x)=1 a t-elle des solutions dans I?"
ce n'est pas du tout ce que tu cherches

tu cherches à résoudre g(x)=0
et c'est g(1) qui vaut -5, pas f(1)....

tu choisis un autre réel (que 1) et qui soit dans ton intervalle
est-ce que 2 peut convenir pour ta démonstration ? (n'oublie pas que tu veux encadrer 0)
est ce que 3 peut convenir pour ta démonstration ?
....

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 19:12

je quitte pour le moment

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 19:23

d'accord donc ca donne:
g(x)= x3-3x-3 sur I= 1; +l'infini

l'équation g(x)=0 a t-elle des solutions dans I?
F polynôme du 3ème degré donc continue sur 1; + l'infini
g(3) = 15 et g(4)= 49
0 est compris entre g(3) et g(4) donc d'après TVI l'équation g(x)=0 a au moins 1 solution entre 3 et 4

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 19:24

la on fait la question 2 c'est ça ?

Posté par
malou Webmasterre : dérivée 2 03-12-21 à 19:26

0 pour toi est donc entre 15 et 49 ...

Posté par
leilaseradre : dérivée 2 03-12-21 à 19:34

non mais c'est la question 2 qu'on fait la ? par ce que j'avais déja trouver une réponse a cette question

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