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Dérivée

Posté par AOM (invité) 08-09-05 à 17:17

Bonjour à tous, j'ai un petit problème pour obtenir une dérivée :


Pour tout entier naturel n non nul, on considère F_n définie sur l'intervalle [ 0, \frac{pi}{2} [ par :
F_n(t) = sin t + \frac{(sin t)^3}{3} +...+ \frac{(sin t)^{2n + 1}}{2n - 1} = \Bigsum_{k=0}^{n - 1} \frac{(sin t)^{2k + 1}}{2k + 1}

Donner le calcul détaillé de F'_n (t)  (dérivée de F_n ) pour t \in  [0, \frac {pi}{2} [ , sans faire figurer de symbol  \Bigsum  ou de ...  dans le résultat.



Merci de bien vouloir m'aider.
+

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivée 08-09-05 à 17:22

Euh... applique les formules.
Par exemple :
(\frac{(\sin t)^3}{3})'=\cos t \sin^2 t
Tu vas retomber sur la somme des termes d'une suite géométrique.

Posté par AOM (invité)re : Dérivée 08-09-05 à 17:45

hmm, sa m'aide pa beaucoup dsl.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivée 08-09-05 à 17:50

C'est que tu ne cherches pas beaucoup !

F'_n(t)=\cos t+\cos t\sin^2t+\cos t\sin^4t +...+\cos t\sin^{2n}t

C'est la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme \cos t et de raison \sin^2 t, non ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivée 08-09-05 à 17:51

Je t'avais tout dit dans mon indication !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Dérivée 08-09-05 à 17:56

Bonjour AOM;
Tu as: F_{n}'(t)=\Bigsum_{k=0}^{2n-1}sin^{2k}(t)=\Bigsum_{k=0}^{2n-1}(sin^{2}(t))^k et sin^{2}(t)\neq1
conclure

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Dérivée 08-09-05 à 17:59

une erreur de frappe;
lire F_n'(t)=cos(t)\Bigsum_{k=0}^{2n-1}(sin^2(t))^k

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivée 08-09-05 à 18:02

Bonjour, elhor_abdelali :
En fait, il y a une erreur dans l'énoncé : la valeur maximale de k est incohérente entre les membres de l'égalité proposée.

Nicolas

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Dérivée 08-09-05 à 18:07

ou plutot;
F_n'(t)=cos(t)\Bigsum_{k=0}^{n-1}(sin^2(t))^k=cos(t)\frac{1-sin^{2n}(t)}{1-sin^2(t)}=\frac{1-sin^{2n}(t)}{cos(t)}
Sauf nouvelle erreur

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Dérivée 08-09-05 à 18:16

Effectivement Nicolas_75;
je crois que AOM voulait écrire plutot:
F_n(t)=sin(t)+\frac{sin^3(t)}{3}+..+\frac{sin^{2n-1}(t)}{2n-1}=\Bigsum_{k=0}^{n-1}\frac{sin^{2k+1}(t)}{2k+1}

Posté par AOM (invité)re : Dérivée 08-09-05 à 18:38

oui vous avec raison j'ai fait une erreur de frappe dans l'énoncé.
Il s'agit de  ce que elhor_abdelali a ecrit en dernier.
En tout cas merci à tous les deux.
Et désolé Nicolas_75 si je suis un peu lent.
Encore merci et a+


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