Bonsoir !

bonsoir
a ce que j'ai compris je dois faire comme la demonstration du theoreme de rolle
pour mon raisonnement j'ai supposé en premier lieu que si f est dérivable en tout point j'applique le theoreme de rolle sinon donc il existe un c tel f^'_d(c)f^'_g je ne vois pas encore ou est la faute
merci a vous et desole

Bonjour,

On te dit que f est continue à gauche et à droite en tout point, ça ne te permet pas de conclure que ces dérivées sont égales partout, donc tu ne peux pas affirmer que f est continue en tout point et tu ne peux pas utiliser Rolle.

Une idée serait une démonstration par l'absurde : montrer que si il existe par exemple un x₀ tel que f'_d(x₀) > 0 et si on a ensuite ensuite partout f'_g(x)*f'_d(x) > 0 alors la fonction f est monotone croissante et donc f(b) > f(a)

Bonjour !

" On suppose que f est continue à gauche en a "  ???

Merci luzak, effectivement je voulais écrire :
On te dit que f est dérivable à gauche et à droite en tout point, ça ne te permet pas de conclure que ces dérivées sont égales partout, donc tu ne peux pas affirmer que f est continue en tout point et tu ne peux pas utiliser Rolle.

@ LeHibou :
Je crois que tu as encore mis un "continue" à la place de "dérivable".

@etniopal :
Tu as raison, j'avais fait l'impasse et rectifié sans m'en rendre compte.

salut

posons

et supposons que g > 0 alors f'_g et f'_d ont même signe ...

si f'_g > 0 (et f'_d > 0) alors f est strictement croissante et contredit l'hypothèse f(a) = f(b)
si f'_g < 0 (et f'_d < 0) alors f est strictement décroissante et contredit l'hypothèse f(a) = f(b)

donc l'hypothèse g > 0 est fausse

.....

Bonjour  carpediem !
Fonction croissante et dérivable à gauche entraîne dérivée positive, d'accord.
Mais comment montres-tu qu'une dérivée (à gauche) positive implique la croissance ! Souviens-toi, pour les fonctions dérivables, cette démonstration utilise le théorème de Rolle ou l'inégalité des accroissements finis !

pour tout x >a f_g existe donc

f'g(x) > 0 et y < x => f(y) < f(x) <=> f est strictement croissante


et idem avec f'_d

ce me semble-t-il ...

Bonsoir carpediem !
Je ne peux contredire ta conclusion car il est exact que l'existence, sur un intervalle, d'une dérivée à gauche positive, suffit à prouver la croissance sur le dit intervalle (à ma connaissance cela se fait en utilisant l'inégalité des accroissements finis, sous la forme affaiblie où on a seulement la dérivation à gauche).

Voici ce que tu proposes, si on regarde de près : pour chaque il existe un intervalle, disons , tel que pour est du signe de . Pour moi ce n'est pas la définition d'une fonction croissante.
Même en restant dans ton si on prend tu ne peux que donner le signe de et . Tu pourrais peut-être trouver le signe de , indispensable pour conclure à la croissance, si tu étais certain d'être dans ou dans . Or tu n'as aucune certitude que sont simultanément dans un tel ensemble et dès que tu changeras (il y a un quelque soit dans la définition de la croissance) tu ne sais pas du tout à quoi ressemble le nouvel .

Sauf autre argument je ne vois donc pas comment accepter ta démonstration !

bonjour
a mon avis je suppose au debut que f est derivable c'est a dire que tout les derivées a gauches et a droites sont egales (cas general) en ce moment appliquer rolle
mais si il existe une derivée a gauche (ou plusieurs ) differente de la derivée droite donc la fonction n'est pas derivable en ce point (ces points) donc f'_d est different de f'_g
je n'arrive toujours pas a voir ou est ma faute
merci

Ce n'est pas une question de "faute" ! On ne te demande pas de montrer que les dérivées sont distinctes ou pas mais que le produit ne peut être positif.

Depuis longtemps je te dis de considérer un tel que soit un extremum (maximum ou minimum).
Si c'est un maximum, la dérivée à gauche sera positive, la dérivée à droite négative.

luzak

attention :: pour la dérivée à gauche en x on ne considère que :: y < x et y --> x

puisque la limite est positive c'est que sur un voisinage de x :: ]x - h, x] ::  [f(x) - f(y)]/(x - y) >= 0

or x - y >= 0 donc f(x) - f(y) >= 0

et puisque c'est vrai pour tout x ...

Si tu prends tu ne peux rien dire du signe de .
D'accord, sont dans le voisinage de que tu mentionnes mais cela ne te permet de comparer que .
Tout ce que tu sais c'est qu'il existe un voisinage à gauche de , disons , tel que .
Mais ce voisinage , dont tu ignores tout,  n'a aucune raison de contenir .

peut-être .... mais ... n'as-t-on pas :

pour tout x :: f'_g(x) >=0 => il existe un voisinage V = ]x - h, x] tel que : y dans V => f(y) =< f(x) ??

ensuite pour comparer f(y) et f(z) avec y < z < x ... ben je considère f'_g(z) > 0 ...

Relis ce que j'ai dit : tu n'as aucune certitude que le voisinage défini à partir de contient ton initial.

Bien sûr tu peux comparer pour des bien choisis, mais ton initial reste (peut-être) hors d'atteinte.

Je pense que tu es d'accord qu'il s'agit de montrer, que sur un intervalle donné, pour TOUT couple dans l'intervalle on a . Alors proposes un intervalle, prends-y deux réels et essaies de comparer .
Avec ton procédé tu y arrives seulement si est "assez près" de (le "assez" dépendant de ) mais tu ne le fais pas pour un arbitraire donné à priori (inférieur à et dans l'intervalle bien sûr).

soit x fixé dans ]a, b] et posons  A = {t € [a, x[ tel que  f(t)>=f(x)}

si A est non vide posons z = sup A

z < x sinon f'_g(x) =< 0

de plus f(z) = f(x) sinon la continuité de f entraine que l'on peut trouver s > 0 tq f(u) > f(x) sur [z, z + s]

on considère alors inf f sur [z, x] compact non vide, donc atteint en un point y

à gauche de y tu as (f(y) - f(u))/(y - u) < 0 ce qui te mene a f'g(y)=<0 (absurde)

donc A est vide


(la démo n'est pas de moi ...)

D'accord.
C'est presque la méthode pour établir l'inégalité des accroissements finis lorsqu'on a seulement la dérivabilité à droite.