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Dérivée compliquée.

Posté par derby (invité) 29-08-07 à 11:25

Bonjour à tous,

Je souhaiterais avoir votre avis sur la dérivée de la fonction suivante :

f(x)  = 3$(x)^{x^\lambda}.

Je trouve personnellement :

f'(x) = 3$(x)^{x^\lambda+2\lambda-2}

Votre avis sur la question?

Merci.

Posté par derby (invité)re : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 11:26

*

Posté par
Nightmarere : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 11:29

Bonjour

Non cela m'étonnerait.

3$\rm f_{\lambda}(x)=e^{x^{\lambda}ln(x)}

On en déduit :
3$\rm f'_{\lambda}(x)=\(\lambda x^{\lambda-1}ln(x)+x^{\lambda-1}\)x^{x^{\lambda}}=x^{x^{\lambda}+\lambda-1}(ln(x)+1)

Posté par
fusionfroidere : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 11:30

Salut !

Moi j'utiliserai deux fois la forme expo...tu as fait comme ça ?

FF

Posté par
Roulianere : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 11:30

Bonjour,

en passant par l'écriture exponentielle, je trouve :

4$ \fbox{f_{\lambda}^'(x)=[\lambda ln(x)+1](x^{\lambda-1})x^{x^{\lambda}}}

Posté par
lyonnaisre : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 11:31

Bonjour

Je trouve pareil que Night

(Sauf que tu as oublié un \lambda dans ta factorisation finale

Posté par
lyonnaisre : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 11:32

Bonjour à tous

Posté par
Nightmarere : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 11:32

Oui oups, un lambda a disparu.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 11:35

Je suppose que lambda est indépendant de x.

f = u^v

f ' = v.u^(v-1).u' + u^v.v'.ln(u)

u = x --> u' = 1
v = x^L --> v' = L.x^(L-1)

f '(x) = x^L * x^((x^L) -1) + x^(x^L) * L.x^(L-1) * ln(x)

f '(x) = x^((x^L) + L -1) + L.ln(x) * x^(L - 1 + x^L)

f '(x) = (1 + L.ln(x)) * x^(L - 1 + x^L)
-----
Sauf distraction.  

Posté par derby (invité)re : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 11:58

J'ai fait avec une composition de fonction, pourquoi cela ne marche t il pas?

En prenant g(x) = x^\lambda?

Posté par
Nightmarere : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 12:01

Et qu'as-tu pris pour f ?

Posté par derby (invité)re : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 12:26

f(x) = x^{g(x)}

J'ai dû mal appliqué la formule (fog)' = f'(g(x)) x g'(x)

Comment faire en passant par cette méthode?

Merci.

Posté par
romure : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 14:50

Bonjour,


derby, je pense que c'est un problème d'écriture,
qu'as tu choisi comme applications f et g telles que f\circ g soit l'application  qui à tout xassocie x^{g(x)}?

A priori, les seules que je vois sont
g telle qu'il existe une application g^{-1} définie telle que pour tout x, g^{-1}(g(x)) = x (autrement dit g est injective),
et
f telle que f:y\longrightarrow g^{-1}(y)^y.

Alors, 3$f\circ g : x \longrightarrow f(g(x)) = g^{-1}(g(x))^{g(x)} = x^{g(x)}.

Posté par derby (invité)re : Dérivée compliquée. 29-08-07 à 16:45

Non, j'ai raconté n'importe quoi.

Posté par derby (invité)re : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 09:37

OK, j'ai trouvé comme Rouliane

La question suivante est assez sportive aussi :

Montrer que suivant les valeurs de \lambda, la fonction admet soit un maximum, soit un minimum.

Posté par derby (invité)re : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 14:36

Posté par
Nightmarere : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 14:38

Essaye soit de calculer la dérivée seconde, soit de voir si les valeurs de lambda influent sur le changement de signe de la dérivée première.

Posté par derby (invité)re : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 15:25

Quote :

"Essaye soit de calculer la dérivée seconde"

Rappel :

4$ \fbox{f_{\lambda}^'(x)=[\lambda ln(x)+1](x^{\lambda-1})x^{x^{\lambda}}}

.


PS : En fait, la question suivante nous "oblige" je pense à calculer cette dérivée seconde :

Effectuer un développement limité à l'ordre 2 de f\lambda(x) au voisinage de 1.

Un truc de ouf cet exo... (concours inspecteur des impôts 98)

Posté par derby (invité)re : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 15:28

Ok, la forme de J-P est plus intéressante, mais bon... :

f '(x) = (1 + L.ln(x)) \times 3$x^{L - 1 + x^L}

Posté par
perroquetre : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 15:43

Bonjour, derby.

Pour montrer l'existence d'un minimum ou d'un maximum suivant les valeurs de lambda, tu n'as pas besoin de calculer la dérivée seconde. Il suffit d'établir le tableau de variations de f_{\lambda} (en considérant deux cas: lambda > 0 et lambda < 0).

De la même manière, pour obtenir un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 1, tu n'auras pas besoin de la dérivée seconde.

Posté par derby (invité)re : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 15:51

(en considérant deux cas: lambda > 0 et lambda < 0).

>>Comment justifier cela?

pour obtenir un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 1, tu n'auras pas besoin de la dérivée seconde.

>>Ah oui?

Posté par
perroquetre : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 15:59

Je réponds seulement (pour le moment) sur la question du minimum ou du maximum. Si lambda est strictement positif, la dérivée est positive pour x> \exp (-1/\lambda) et négative autrement. f est donc croissante sur [\exp (-1/lambda),+\infty[ et décroissante sur ]0,\exp (-1/\lambda)[. Cela montre que f admet un minimum en \exp(-1/\lambda).

Même étude pour lambda <0

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 17:44

f '(x) = (1 + L.ln(x)) * x^(L - 1 + x^L)

et x > 0 --> x^(L - 1 + x^L) > 0 quel que soit L

f '(x) a donc le signe de (1 + L.ln(x))

f '(x) = 0 si ln(x) = -1/L

g(x) = (1 + L.ln(x)) (sur R+*)
g(x) = 0 pour x = e^(-1/L)

g '(x) = L/x
et comme x > 0, g(x) a le signe de L

Si L > 0, g(x) est croissante.
g(x) (et donc f '(x)) < 0 pour x < e^(-1/L) --> f(x) est décroissante
g(x) (et donc f '(x)) = 0 pour x = e^(-1/L)
g(x) (et donc f '(x)) > 0 pour x > e^(-1/L) --> f(x) est croissante
---> f(x) présente un minimum

Si L < 0, g(x) est décroissante.
g(x) (et donc f '(x)) > 0 pour x < e^(-1/L) --> f(x) est croissante
g(x) (et donc f '(x)) = 0 pour x = e^(-1/L)
g(x) (et donc f '(x)) < 0 pour x > e^(-1/L) --> f(x) est décroissante
---> f(x) présente un maximum

Si L = 0, ni max, ni min dans f(x)
-----
Sauf distraction.  

Posté par derby (invité)re : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 19:14

OK, si on considère que le domaine de définition Df\lambda = *+  

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 19:59

Oui, mais c'est normal de considérer R*+ comme domaine de définition.

Car si x < 0, alors x^L < 0 si L > 0 et sauf cas particulier, si L < 0, alors x^L n'est pas réel.

Même si L > 0, si x < 0, on a:
x^(x^L) est un nombre négatif exposant un nombre négatif, et sauf valeur particulière, x^(x^L) n'est pas réel.

Essaie par exemple (-0,12)^(-2,4) à la calculette et tu verras que le résultat n'est pas un nombre réel.

Posté par
perroquetre : Dérivée compliquée. 30-08-07 à 21:03

La question du minimum (ou du maximum) étant résolue, je passe au calcul du développement limité d'ordre 2 au voisinage de x=1.

f(x)=x^{x^{\lambda}}=\exp (x^{\lambda}\ln x)

Faire un DL d'ordre 2 au voisinage de x=1 revient à faire un DL d'ordre 2 au voisinage de 0 de  h -> f(1+h).

Au voisinage de 0:
f(1+h)=\exp( (1+h)^{\lambda}\ln (1+h))= \exp\left( (1+\lambda h+o(h)) \left( h-\frac{h^2}{2}+o(h^2)\right)\right)=\exp \left( h+\left(\lambda-\frac{1}{2}\right) h^2\right)=1+h+\lambda h^2+o(h^2)

(Attention: ce qui précède n'est qu'un résumé)

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 09:18

Pour le DL d'ordre 2 au voisinage de 1.

f(x) = (x)^(x^L)
  
f '(x) = (1 + L.ln(x)) * x^(L - 1 + x^L)
  
f ''(x) = (L/x).* x^(L - 1 + x^L) + (1 + L.ln(x)). [x^(L - 1 + x^L)]'

g(x) = x^(L - 1 + x^L)

g(x) = u^v avec u=x et v=L-1+x^L
u' = 1
v' = L.x^(L-1)

g' = v.u^(v-1).u' + u^v.ln(u) v'
g'(x) = (L-1+x^L).x^(L-2+x^L) + x^(L-1+x^L) * ln(x) . L.x^(L-1)
g'(x) = (L-1+x^L).x^(L-2+x^L) + L * x^(2L-2+x^L) * ln(x)
g'(x) = (L-1).x^(L-2+x^L) + x^(2L-2+x^L) + L * x^(2L-2+x^L) * ln(x)
g'(x) = (L-1).x^(L-2+x^L) + (1+L.ln(x)).x^(2L-2+x^L)

f''(x) = (L/x).* x^(L - 1 + x^L) + (1 + L.ln(x)).[(L-1).x^(L-2+x^L) + (1+L.ln(x)).x^(2L-2+x^L)]

f(1) = 1
f '(1) = 1
f ''(1) = L + [(L-1) + 1] = 2L

DL: 1 + (x-1) + (x-1)².L + O(x²)
DL: 1 + x - 1 + L(x²-2x+1) + O(x²)
DL: L + x(1-2L)+ Lx² + O(x²)
-----
Sauf distraction.  

Posté par
JJare : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 09:42

On voit l'importance des parenthèses :

Dérivée compliquée.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 09:58

Exact JJa

Mes réponses correspondent à la version du haut de ton intervention.

Si c'était l'autre qu'il fallait prendre, et bien, il faut tout recommencer.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 10:32

Si j'entre dans ma calculette (3)^3^2 le résultat est 729

Si j'entre dans ma calculette 3^(3^2) le résultat est 19683

Si j'entre dans ma calculette (3^3)^2 le résultat est 729

Donc pour ma calculette, (x)^x^\lambda semble être équivalent à (x^x)^\lambda, aie aie aie, il semble bien qu'on l'a tous interprété autrement.

Ma calculette évalue donc les puissances de gauche à droite.
Cette évaluation de gauche droite est obligatoire dans les sommes et additions. Est-ce vrai aussi dans le cas des puissances ?

Si quelqu'un a un avis sûr avec des références, je suis preneur.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 10:35

J'ai voulu écrire :

Donc pour ma calculette, 4$ (x)^{x^\lambda}  semble être équivalent à ...

Posté par
raymond Correcteurre : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 10:50

Bonjour.

Je me permets d'intervenir car ce sujet me rappelle un vieux souvenir : partie d'un sujet donné à centrale en 1967 ou 1968. Je me souviens l'avoir traitée en conservant tout le long la forme exponentielle :

3$\textrm f(x) = e^{x^^{\lambda}.ln(x)}

Pour des raisons d'écriture LaTeX, je me permets de remplacer 2$\lambda par la lettre "a"

Cette fonction, définie pour x > 0 possède une dérivée qui peut s'écrire :

3$\textrm f '(x) = x^{a-1}[1 + a.ln(x)].f(x)

Le signe ne dépend donc que de l'expression 1 + a.ln(x).

En examinant les cas : a = 0, a > 0 et a < 0, on trouve les résultats suivants.

1°) a = 0. f(x) = x

2°) a > 0. f est décroissante sur 3$\textrm ]0 , e^{-\frac{1}{a}}[, croissante ensuite.

3°) a < 0. C'est le contraire.

Remarque : 3$\textrm f(e^{-\frac{1}{a}}) = e^{-\frac{1}{a.e}}

Sauf erreur de ma part.

A plus RR.

Posté par
JJare : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 12:17

Selon une convention internationnale, dont je ne retrouve pas les références, l'écriture implicite en omettant les parenthèses est :
a^b^c = a^(b^c) et non pas (a^b)^c
Mais il faut se méfier des calculettes : elles n'ont pas toutes la même logique et ne respectent donc pas forcément la convention. Cela dépend du fabriquant. Normalement, la logique est indiquée dans la notice d'utilisation.

Posté par
infophilere : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 12:25

Bonjour

J-P > C'est normal que (x)^{x\lambda} est équivalent à (x^x)^{\lambda} puisque c'est deux quantités sont égales, non ?

On a bien (a^b)^c=a^{bc}.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 12:25

JJa

C'est aussi mon avis, il reste dommage, que maintes calculettes (et parmi les plus répandues) ainsi que beaucoup de logiciels (par exemple le tableur Excel, et bien d'autres) n'emploient pas ce qui est la "convention internationale".

Ce n'est malheureusement pas un cas isolé.

Vieux débat, sur les écarts de définitions utilisées dans les mathématiciens de part le monde.

Posté par
infophilere : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 12:26

Ah non pardon je n'ai pas vu ton deuxième post

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 12:26

Salut Kevin,

Voir mon message du 31/08/2007 à 10:35.

Et les quelques suivant.

Posté par
infophilere : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 12:28

Oui

Posté par
JJare : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 12:30

Amusant le phénomène de "vases communiquants" d'un forum à l'autre !
http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewthread.html?SESSID=d2ae1df5fbe60415af5f3e333514bee2&id=38419

Posté par
perroquetre : Dérivée compliquée. 31-08-07 à 15:27

JP a écrit, à 9h18:

Citation :
DL: 1 + (x-1) + (x-1)².L + O(x²)


Il y a une petite erreur; en fait:

DL: 1 + (x-1) + (x-1)².L + O((x-1)²)

(développement limité de f au voisinage de x=1


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