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dérivée d arcsin arctan arccos...
Bonjour tout le monde,
Je suis un peu embarrassé par l'expression que l'on donne pour la valeur de la dérivée des fonctions réciproques en trigo. Je m'explique.
sin 
=x
on choisit tel que sin'() soit différent de 0
c a d que pour 
IR\ {-Pi/2 +2kPI , Pi/2 + 2kpi}
sin'() 
0
arcsin'(x)= 1/ sin'()= 1/ cos
Et c'est ici que se situe mon problème.
La suite logique quand on sait que sur l'intervalle qui nous intéresse, cos est supérieur à 0 est:
1/ cos = 1/ 
(1- sin^2 () )= 1/sqr( 1- x^2)
Mais dans le cas où cos est négatif, il me semble qu'on devrait avoir cos= - sqr (1- sin^2 )
Pourriez-vous m'éclairer sur le sujet?
d'où arcsin'(x)= - 1/ sqr(1- x^2)
bonsoir
soit f une fonction definie sur un intervalle I et g definie sur f(I) tel que g soit la fonction reciproque de f.
alors 
xI f(g(x)=g(f(x))=x
si f est derivable g aussi
et on a g'(x)f'(g(x))=f'(x)g'(f(x))=1
soit f =sin definie sur R dans [-1,1] alors g=arcsin definie de [-1,1] dans [-pi/2,pi/2]
g'(x)f'(g(x))=1
et f'(g(x))=cos(arcsinx) donc sur ]-1,1[ f'(g(x)) non nul
donc sur ]-1,1[ g'(x)=
or (car pour tout x de [-1,1] sin(arcsinx)=x)
donc sur ]-1,1[ abs(cos(arcsinx))=
or arcsinx appartient à [-pi/2,pi/2] donc cos(arcsinx)
0
d'ou
pour tout x de ]-1,1[ cos(arcsinx)=
CONCLUSION :
sur ]-1,1[
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