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dérivée d'une fonction complexe
Bonjour,
J'ai du mal à comprendre un exemple de mon cours. Mon prof nous dit que F est dérivable en x ssi les fnoctions G=re(F) et H=im(F) le sont et que l'on a alors
F'(x)= G'(x)+ i H'(x)
J'essaie d'appliquer à un exemple qu'il nous donne:
F(x)= e^(cx) où c est une constante complexe.
J'ai donc essayé de dégager les parties réelles et imaginaires
c=a+ib
F(x)= e^(ax)(cosbx+ isinbx)
G(x)= e^(ax)cosbx
H(x)= e^(ax)sinbx
J'ai ensuite dérivé mais je ne retombe pas sur le résultat de mon prof qui est tout simplement F'(x)= ce^(cx)
salut,
ca te donne
et
d'où
CQFD
Ptitjean
F(x)= e^(cx)
c=a+ib
F(x)= e^(ax)(cosbx+ isinbx)
Re(F)=e^(ax)cosbx
Im(F)= e^(ax)sinbx
Re(F)' =e^(ax)(a.cosbx-b.sinbx)
Im(F)' =e^(ax)(a.sinbx+b.cosbx)
Re(F)'+i.Im(F)' = e^(ax)((a+ib)cosbx+(-b+ia)sinbx))
Re(F)'+i.Im(F)' = e^(ax)((a+ib)cosbx+i(a+ib)sinbx))
Re(F)'+i.Im(F)' = (a+ib)e^(ax)((cosbx+i.sinbx))
Re(F)'+i.Im(F)' = (a+ib)e^(ax)e^(ibx)
Re(F)'+i.Im(F)' = (a+ib)e^((a+ib)x)
Re(F)'+i.Im(F)' = ce^(cx)
Re(F)'+i.Im(F)' = (Re(F)+i.Im(F))' = F' = ce^(cx)
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