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Dérivée d'une fonction/Distribution

Posté par
Mayssam 12-06-18 à 14:45

Bonjour ,

Pour tout x appartenant à R, soit f(x) = e^{\left-a|x \right|}
où a est un nombre réel strictement positif

1 Tracer schématiquement le graphe de la fonction f
2 Calculer la dérifée f' de la fonction f
3 Dans la suite on trate f comme une fonction généralisée ( distribution régulière). Montrer que cette distribution vérifie l'équation

f'' -a^{2}f = g

Pour les question ( 1) et (2) c'est ok
Mais pour la question (3). Je n'arrive pas à aboutir au résultat

voici ce que j'ai fais

J'ai essayé d'exprimer la fonction f grâce à la distribution de Heaviside comme suit:
f(x) = \theta (x) e^{-ax} - \theta (-x)e^{-ax} = (\theta (x)-(\theta -x)) e^{-ax}

de là j'ai calculé la dérivée première et dérivée seconde au ses des distributions

f'(x) = (\theta '(x)-\theta '(-x) )e^{-ax} - a(\theta (x)-\theta (-x))e^{-ax}

On sait que \theta '(x) = \delta (x)
\theta '(-x) = -\delta (x)
Ainsi f'(x) = 2\delta (x)e^{-ax }-af(x)
f''(x) = 2\delta '(x)e^{-ax} -2\delta (x)e^{-ax }+ af'(x)


Mais après je ne vois pas comment retomber sur le résultat demandé? Je ne sais pas si ce que j'ai fais est coorect

Merci pour votre aide

Posté par
carpediemre : Dérivée d'une fonction/Distribution 12-06-18 à 17:03

salut

je ne vois pas l'intérêt de passer par la distribution de Heaviside ...

peux-tu nous donner f' ?

et ensuite puisque tu as calculé f' pourquoi ne pas calculer f" de la même façon ...

Posté par
veledare : Dérivée d'une fonction/Distribution 12-06-18 à 19:07

bonjour,
n 'y a-t''il pas une erreur dans le calcul de f' ?

Posté par
larrechre : Dérivée d'une fonction/Distribution 12-06-18 à 19:12

Bonjour,

Je m'apprêtais à le dire et puis, fausse manoeuvre, ça s'est perdu. f' me semble effectivement faux, y compris dans sa version "dérivée au sens usuel".

Posté par
Mayssamre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 12:01

On me demande de calculer la dérivée au sens des distributions...
C'est pourquoi j'utilise la distribution de Heaviside. Où est l'erreur?
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 12:20

Bonjour,

Je note \{f'\} la dérivée au sens usuel de f


\{f'\}=\begin{cases} a e^{ax}& \text{ si } x\leq0 \\ -ae^{-ax}& \text{ si } x\geq0 \end{cases}
ce qui n'est pas égal à -af

Par contre \{f''\}=a^2f

Ensuite, pourquoi ne pas utiliser la formule dite  "formule des sauts" pour le calcul de f' ?

Posté par
Mayssamre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 12:22

Mais quelle est alors la dérivée au sens des distributions?

Posté par
larrechre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 12:28

Selon moi c'est f'=\{f'\} -2a\delta et f''=\{f''\} -2a\delta'=a^2f-2a\delta'

Sauf erreur, en attendant un spécialiste...

Posté par
jsvdbre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 13:12

Bonjour 🤗.

larrech @ 13-06-2018 à 12:20

Ensuite, pourquoi ne pas utiliser la formule dite  "formule des sauts" pour le calcul de f' ?

Précisément parce que la fonction ne saute pas.
Il n'y a donc pas de masse de Dirac en zéro pour la dérivée de f au sens des distributions 🙂
En revanche pour la dérivée seconde, bien sûr Il faudra appliquer la formule des sauts.

Posté par
larrechre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 13:56

@ jsvdb  Bonjour

La dérivée première ne saute pas ? Elle vaut a à gauche et -a à droite !

Posté par
larrechre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 13:57

A gauche et à droite de 0, bien sûr

Posté par
jsvdbre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 16:14

Oui, la dérivée saute mais pas la fonction.

Posté par
jsvdbre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 16:19

Donc il n'y a pas de masse de Dirac dans la dérivée distribution de f.
f'  et représentable par une fonction de Lp() ( et donc pour mémoire fW(1,p)())

Posté par
larrechre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 16:26

jsvdb @ 13-06-2018 à 16:14

Oui, la dérivée saute mais pas la fonction.


OK , je te laisse donner les bons résultats pour Mayssam

Posté par
larrechre : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 18:17

@Mayssam

En reprenant votre calcul, en notant U la fonction d'Heaviside, vous devez trouver

f'(x)=ae^{ax}U(-x)-a e^{-ax} U(x)

puis en dérivant encore une fois

f''=a^2 e^{-a|x|}-2a\delta

(rappel, g étant une fonction, gU'=g\delta=g(0)\delta)

Posté par
Mayssamre : Dérivée d'une fonction/Distribution 16-06-18 à 19:50

Super ! Merci beaucoup, je m'étais en effet complètement gourré dans le calcul de f(x) avec Heaviside


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