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Dérivée d'une fonction/Distribution

Posté par
Mayssam
12-06-18 à 14:45

Bonjour ,

Pour tout x appartenant à R, soit f(x) = e^{\left-a|x \right|}
où a est un nombre réel strictement positif

1 Tracer schématiquement le graphe de la fonction f
2 Calculer la dérifée f' de la fonction f
3 Dans la suite on trate f comme une fonction généralisée ( distribution régulière). Montrer que cette distribution vérifie l'équation

f'' -a^{2}f = g

Pour les question ( 1) et (2) c'est ok
Mais pour la question (3). Je n'arrive pas à aboutir au résultat

voici ce que j'ai fais

J'ai essayé d'exprimer la fonction f grâce à la distribution de Heaviside comme suit:
f(x) = \theta (x) e^{-ax} - \theta (-x)e^{-ax} = (\theta (x)-(\theta -x)) e^{-ax}

de là j'ai calculé la dérivée première et dérivée seconde au ses des distributions

f'(x) = (\theta '(x)-\theta '(-x) )e^{-ax} - a(\theta (x)-\theta (-x))e^{-ax}

On sait que \theta '(x) = \delta (x)
\theta '(-x) = -\delta (x)
Ainsi f'(x) = 2\delta (x)e^{-ax }-af(x)
f''(x) = 2\delta '(x)e^{-ax} -2\delta (x)e^{-ax }+ af'(x)


Mais après je ne vois pas comment retomber sur le résultat demandé? Je ne sais pas si ce que j'ai fais est coorect

Merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 12-06-18 à 17:03

salut

je ne vois pas l'intérêt de passer par la distribution de Heaviside ...

peux-tu nous donner f' ?

et ensuite puisque tu as calculé f' pourquoi ne pas calculer f" de la même façon ...

Posté par
veleda
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 12-06-18 à 19:07

bonjour,
n 'y a-t''il pas une erreur dans le calcul de f' ?

Posté par
larrech
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 12-06-18 à 19:12

Bonjour,

Je m'apprêtais à le dire et puis, fausse manoeuvre, ça s'est perdu. f' me semble effectivement faux, y compris dans sa version "dérivée au sens usuel".

Posté par
Mayssam
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 12:01

On me demande de calculer la dérivée au sens des distributions...
C'est pourquoi j'utilise la distribution de Heaviside. Où est l'erreur?
Merci beaucoup

Posté par
larrech
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 12:20

Bonjour,

Je note \{f'\} la dérivée au sens usuel de f


\{f'\}=\begin{cases} a e^{ax}& \text{ si } x\leq0 \\ -ae^{-ax}& \text{ si } x\geq0 \end{cases}
ce qui n'est pas égal à -af

Par contre \{f''\}=a^2f

Ensuite, pourquoi ne pas utiliser la formule dite  "formule des sauts" pour le calcul de f' ?

Posté par
Mayssam
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 12:22

Mais quelle est alors la dérivée au sens des distributions?

Posté par
larrech
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 12:28

Selon moi c'est f'=\{f'\} -2a\delta et  f''=\{f''\} -2a\delta'=a^2f-2a\delta'

Sauf erreur, en attendant un spécialiste...

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 13:12

Bonjour 🤗.

larrech @ 13-06-2018 à 12:20

Ensuite, pourquoi ne pas utiliser la formule dite  "formule des sauts" pour le calcul de f' ?

Précisément parce que la fonction ne saute pas.
Il n'y a donc pas de masse de Dirac en zéro pour la dérivée de f au sens des distributions 🙂
En revanche pour la dérivée seconde, bien sûr Il faudra appliquer la formule des sauts.

Posté par
larrech
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 13:56

@ jsvdb  Bonjour

La dérivée première ne saute pas ? Elle vaut a à gauche et -a à droite !

Posté par
larrech
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 13:57

A gauche et à droite de 0, bien sûr

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 16:14

Oui, la dérivée saute mais pas la fonction.

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 16:19

Donc il n'y a pas de masse de Dirac dans la dérivée distribution de f.
f'  et représentable par une fonction de Lp() ( et donc pour mémoire fW(1,p)())

Posté par
larrech
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 16:26

jsvdb @ 13-06-2018 à 16:14

Oui, la dérivée saute mais pas la fonction.


OK , je te laisse donner les bons résultats pour Mayssam

Posté par
larrech
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 13-06-18 à 18:17

@Mayssam

En reprenant votre calcul, en notant U la fonction d'Heaviside, vous devez trouver

f'(x)=ae^{ax}U(-x)-a e^{-ax} U(x)

puis en dérivant encore une fois

f''=a^2 e^{-a|x|}-2a\delta

(rappel, g étant une fonction, gU'=g\delta=g(0)\delta)

Posté par
Mayssam
re : Dérivée d'une fonction/Distribution 16-06-18 à 19:50

Super ! Merci beaucoup, je m'étais en effet complètement gourré dans le calcul de f(x) avec Heaviside

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