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Dérivée d'une fonction réciproque
Bonjour,
énoncé:
Soit f la fonction définie sur I=[0;pi/2] par f(x)=1/cos(x)
a. Montrer que f est strictement monotone sur I. Calculer f(0) et lim, x->pi/2 f(x). En déduire l'image de I par f.
b. On note f^-1 : [1; +∞[ -> I la bijection réciproque de f. Donner les propriétés de f^-1 et tracer les graphes de f et de f-1 dans un repère orthonormé.
c. Démontrer que f^(-1) est dérivable sur ]1;+∞[ et que (f^-1)'(x)=1/y
y²-1 pour y
`1;+∞[
J'ai fait la question a et b avec mon prof, mais c'est la c. qui pose problème.
Pour démontrer que f^-1 est dérivable, j'ai dit que :
-f^-1 est la bijection réciproque de f.
-1/cos(x) est strictement monotone car f'(x)=sin(x)/cos²(x) et est strictement croissante.
f' ne s'annule pas sur ]1;+∞[ donc f^-1 est dérivable.
Mais je n'ai pas trouvé l'expression de la fonction réciproque, et donc quand j'applique la formule (f^-1)'(y)=1/f'(f^-1(x)) c'est faux.
salut
notons g la réciproque de f
y = f(x) <=> g(y) = g o f(x) = x
donc g'(y) * f'(x) = 1 ...
ou alors le faire dans l'autre sens
g(y) = x <=> f o g(y) =f(x) = y
donc g'(y) * f'(x) = 1
...
@jsvdb Oups, petite erreur. Merci
@carpediem Merci pour cette explication.
Je crois enfin avoir résolu la question.
f(x)=1/cos(x)
(f^-1)'(y)=1/f'(f^-1(x))
=1/((-sin(x))/cos^2(x))
=1/(y*(-sin(x)/cos(x)))
=1/y*sin^2(x)/cos^2(x)
=1/(yy^2*sin^2(x))
=1/yy^2(1-1/y^2)
=1/yy^2-1
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