Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice !

On considère l'équation différentielle suivante:



On veut résoudre cette équation pour t> 0 avec pour condition initial pour une fonction .

1) Montrer que la TF û satisfait:


Fait, il suffit juste d'utiliser cette propriété:


2) Montrer que u(x,t) = résout l'équation différencielle. Vous pouvez intervertir dérivée et intégrale sans justification.

C'est ici que je bloque, voici ma tentative:





Voilà c'est en supposant que ne dépendant pas de t ce don't je ne suis pas sur.
Vu que je bloque à cette étape j'ai essayé le côté gauche de l'équation mais dériver en fonction de x me pose problème car on ne connaît pas l'expression qui dépénd certainement de x. Je pense qu'il faut utiliser la a mais je ne vois pas trop comment.
Il y a une suite à l'exercice mais comme je n'y ai pas réfléchis je ne l'ai pas encore posté peut être que je n'aurais pas besoin d'aide pour le reste.

Merci par avance