Domaine de définition de f(x): R /{-1;1}

f '(x) = y = argsh(2x/(1-x^2))

sh(x) = 2x/(1-x²)
ch(x) . dx = [(2-2x²+4x²)/(1-x²)²] .dy

(dy/dx) = [(2-2x²+4x²)/(1-x²)²] / ch(y)

ch(y) = racine(1-sh²(y))

f '(x) = (dy/dx) = (2+2x²)/[(1-x²)².racine(1 + (2x/(1-x²))²)]

f '(x) = 2(1+x²)/[(1-x²)².racine((x^4+2x²+1)/((1-x²)²)]
f '(x) = 2(1+x²)/[(1-x²)².racine((x²+1)²/((1-x²)²)]

Si x dans ]-1 ; 1[, f(x) = 2/(1+x²)
Si x dans ]-oo ; -1[ U ]1 ; oo[, f(x) = -2/(1-x²)

Et donc:
f '(x) = |2/(1+x²)| pour x dans R/{-1 ; 1}
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On a déjà la même dérivée , ce n'est dèjà pas mal.

On peut en tout cas dire que la dérivée est partout positive dans le
domaine d'éxistence de f(x) et donc que f(x) est croissante.

Si on remarque que f(0) = 0, on peut deviner que f(x) est symétrique
par rapport à l'origine, donc que f(x) est impaire.

Mais est-ce cela qui est attendu ?

Va savoir.