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Niveau Maths sup
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dérivée de la composée de deux fonctions et interprétation

Posté par rom s (invité) 31-10-03 à 16:48

calculer le dérivée de f(x)=argsh(2x/(1-x^2))



que peut on en déduire?





je trouve comme dérivée de cette fonction:



   f'(x)=2 fois la valeur absolue de 1/(x^2 -1)



est-ce juste? SI OUI, on a donc f'(x)= 2 fois la dérivée au carré de
argch(x) .



je ne sais pas quoi en déduire à part ça, si vous pouviez m'aider...merci!

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : dérivée de la composée de deux fonctions et interprétation 31-10-03 à 20:10

Domaine de définition de f(x): R /{-1;1}

f '(x) = y = argsh(2x/(1-x^2))

sh(x) = 2x/(1-x²)
ch(x) . dx = [(2-2x²+4x²)/(1-x²)²] .dy

(dy/dx) = [(2-2x²+4x²)/(1-x²)²] / ch(y)

ch(y) = racine(1-sh²(y))

f '(x) = (dy/dx) = (2+2x²)/[(1-x²)².racine(1 + (2x/(1-x²))²)]

f '(x) = 2(1+x²)/[(1-x²)².racine((x^4+2x²+1)/((1-x²)²)]
f '(x) = 2(1+x²)/[(1-x²)².racine((x²+1)²/((1-x²)²)]

Si x dans ]-1 ; 1[, f(x) = 2/(1+x²)
Si x dans ]-oo ; -1[ U ]1 ; oo[, f(x) = -2/(1-x²)

Et donc:
f '(x) = |2/(1+x²)| pour x dans R/{-1 ; 1}
---
On a déjà la même dérivée , ce n'est dèjà pas mal.

On peut en tout cas dire que la dérivée est partout positive dans le
domaine d'éxistence de f(x) et donc que f(x) est croissante.

Si on remarque que f(0) = 0, on peut deviner que f(x) est symétrique
par rapport à l'origine, donc que f(x) est impaire.

Mais est-ce cela qui est attendu ?

Va savoir.









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