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Niveau Maths sup
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Dérivée et différentielle

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 09-07-07 à 23:56

Bonsoir tout le monde

Je viens de commencer un peu la physique, donc je me permets de créer un tout petit topic pour demander la différence entre:

- dérivée
- différentielle

Merci d'avance

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 00:41

Salut

Tu parles de la différencielle totale ?

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 00:45

Parce que la différencielle totale c'est la somme des différencielles partielles .

On a 3$ \rm df=\frac{\partial f}{\partial x_1}\,dx_1+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\,dx_n.

Et une dérivée partielle par rapport à la variable x c'est 3$ \rm \frac{ \partial f }{ \partial x }

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 00:51

Re Monrow, vaste sujet!



Prenons le cas le plus simple:



donne-toi une fonction f de Rn dans R, autrement dit une fonction de n variables à valeurs réelles

(ex pour n=3 :

f(x,y,z) = 3xyz² +3x/ey - \sqrt{yz}).




A y=b et z=c fixés dans un certain domaine tu obtiens une bête fonction de x, définie sur un certain domaine, dérivable sur un certain domaine.



Lorsque tu dérives par rapport à x, tu obtiens ce qu'on appelle la dérivée partielle par rapport à la première variable, qui est la fonction qui à (x,y,z) associe le nombre dérivé de cette fonction au point x (il faut toujours imaginer y et z fixés), notée f/x (x,y,z) mais tu peux imaginer que c'est f/x (x,b,c) pour bien te rappeler qu'on considère y et z comme des constantes quand on dérive par rapport à x.




De même on peut définir la dérivée partielle f/y (x,y,z) par rapport à y de f en considérant x=a et z=c comme des constantes,
et enfin f/z(x,y,z).




Mais comment généraliser la notion de dérivée d'une fonction sans faire jouer un rôle particulier au choix d'une des 3(ou n) variables par rapport à laquelle on va dériver?

Eh bien en s'inspirant de ce qui se passe pour les fonctions numériques d'une seule variable:



Soit u une telle fonction.Tu as vu en Première que u est dérivable en a s'il existe un réel l (le nombre dérivé de f en a) et une fonction \phi de limite 0 en 0 telle que, pour h assez proche de 0 on ait:

u(a+h)=u(a)+lh+h.\phi(h),

ce qui équivaut trivialement à u(a+h)=u(a)+lh+|h|.\phi(h).





Comment généraliser ceci au cas de n variables?
Déjà, a et h ne sont plus des nombres mais des vecteurs à n composantes.

Ce qui va correspondre au terme lh, qui peut être considéré comme l'image de h par l'application linéaire h->lh, c'est une application linéaire notée df(a) à n variables, à images dans , et évaluée au vecteur h.

Enfin ce qui va correspondre au 3è terme, c'est le produit de la norme du vecteur h par une fonction \phi(h) de n dans qui tend vers 0 lorsque le vecteur h tend vers 0.


Dans ce cas, on montre que l'application linéaire df(a) (on a bien fixé un point a de n) est unique (de même que le nombre dérivé était unique dans ).
On l'appelle différentielle de f en a, d'où la notation.







On peut recommencer pour un autre point b, et si l'on trouve une autre telle application linéaire et une autre fonction \phi tendant vers 0 en 0 qui vérifient une relation analogue à la précédente, on dira que l'application linéaire trouvée est la différentielle de f en b.Elle sera notée df(b).



Si on considère tous les points x en lesquels f est différentiable, on obtient donc une application qui à tout x de n associe une application linéaire df(x) de n dans .

La différentielle de f est cette application df:n->L(n,)

(la deuxième notation désigne l'ensemble des applications linéaires de n dans ).
Remarque au passage que si f va de dans lui-même et est dérivable en a avec f'(a)=l, alors f est différentiable en a et sa différentielle en a est l'application linéaire df(a) de dans lui-même qui au réel h associe le nombre lh.




Mais quel est le rapport avec les dérivées partielles de f?
Il est très simple: on montre aisément que L(n,) est constitué des applications associant à tout vecteur h=(h_1,...,h_n) une certaine combinaison linéaire à coefficients fixés l_1h_1+l_2h_2+...+l_nh_n des nombres h_i.




Un candidat naturel de df(a) est donc l'application linéaire qui à tout vecteur h associe le nombre précédent, où le coefficient l_i est la dérivée partielle de f en a par rapport à la i-ème variable.

Plus précisément, un théorème te dit que si f est différentiable en a, alors elle admet des dérivées partielles en a en chacune des variables et que df(a) est exactement l'application linéaire écrite plus haut.

LA réciproque est malheureusement fausse: il existe des fonctions dérivables par rapport à chaque variable en un certain point a sans qu'elle y soit différentiable (cependant, si les dérivées partielles sont elles-mêmes continues en a, on peut prouver que f y est différentiable, ce qui est bien pratique en général!)
Le contre-exemple classique est f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2} si (x,y)\neq (0,0) et 0 en (0,0).

Enfin, on peut généraliser ces résultats au cas où f va de n dans p, en appliquant ce qu'on vient de faire à chacune des composantes du vecteur f(a), vu que chacune de ces composantes est un nombre, donc une application de n dans .


Toutes ces définitions peuvent même se généraliser à des espaces de dimension infinie à condition de se donner des normes sur chacun des espaces.

Ca va toujours?

Posté par
Cauchyre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 00:53

Respect Tigweg, j'allais commencer à taper un truc mais la je crois que t'as fait complet

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 00:55

J'ai de la lecture, merci Tigweg

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:17

T'aurais pu faire l'effort d'écrire plus gros

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:22

Petit rajout: en dimension infinie, on exige de plus que df(a) soit une application linéaire contine par rapport aux normes choisies (ce qui est automatiquement le cas dans le cas d'espaces de dimensions finies comme tu le verras dans 2 ans, et ce quelles que soient les normes choisies!)


Relation récapitulative:

f:n->p

est différentiable en un point a de n s'il existe une application linéaire notée df(a) de n dans p et une application \phi de limite 0 en 0 telles que, pour tout h suffisament proche de 0 dans n on ait la relation:


5$f(a+h)=f(a)+df(a)(h)+h\phi(h)


où df(a)(h) désigne l'image par l'application linéaire df(a) du vecteur h.



Dans ce cas, f admet des dérivées partielles par rapport à chacune des variables au point a (chacune d'entre elles est une application de n dans p) et on a pour tout h=(h_1,...,h_n) de n la relation:



df(a)(h)= [1f(a)]h1 + ... +[nf(a)]hn


où les dérivées partielles en a sont des vecteurs à p colonnes.
Par exemple pour multiplier un tel vecteur colonne par h_1, on multiplie chaque composante par h_1.

Ex: f(x,y,z) = (x+y,z²) et a = (1,2,3).

Alors [1f(a)]h1 , c'est le vecteur colonne où on dérive par rapport à la première variable pris en (1,2,3), et multiplié par h_1, ce qui fait le vecteur colonne (1,0) fois h_1, soit le vecteur colonne (h1,0).

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:23

Lol je vous en prie

J'espère que c'est clair!

Posté par
Cauchyre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:24

Déja

Posté par
Cauchyre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:24

Roh fausse manip

Déja en dimension infinie tu le ménages pas monrow

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:28

Ah mais c'est que j'ai de l'ambition pour le petit Monrow!

Marilyn aussi avait de l'ambition, bon c'est vrai que ça n'a pas porté chance à Kennedy, mais c'est un autre débat!


infophile>

Citation :
T'aurais pu faire l'effort d'écrire plus gros


Tu ne sais pas ce que tu veux!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:35

infophile> il faut mettre un "t" à différentielle

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:36

Citation :
Marilyn aussi avait de l'ambition, bon c'est vrai que ça n'a pas porté chance à Kennedy, mais c'est un autre débat




Merci pour le topo

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:43

Je t'en prie, bonne lecture Kevin!

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:44

J'ai tout lu mais il y a certains points qui restent obscurs, alors je verrais demain en plein jour si je le digère mieux .

Bonne nuit à vous deux

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:48

Oui, je crois qu'il reste nécessaire d'écrire pour bien se convaincre de certaines choses,comme la cohérence entre dimensions.

Bonne nuit Kevin!

Posté par
Cauchyre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 01:48

Citation :
Ah mais c'est que j'ai de l'ambition pour le petit Monrow!


Je vois ça

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 02:01

Petite coquille:

Une fonction f: \mathbb{R}^n->\mathbb{R}^p n'est pas nécessairement différentiable en tout point a de \mathbb{R}^n.

Soit E l'ensemble des points en lesquels f est différentiable.

La différentielle df de f est alors l'application de E dans L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p) qui à tout a de E associe l'application linéaire df(a).

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 03:19

Oui j'allais te le faire remarquer

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 03:23

En fait quand tu auras compris de quoi il s'agit, tu trouveras cela évident.

Si je crois bon de le préciser malgré tout, c'est-outre un souci de rigueur-pour vous laisser le moins de chances possibles de mal interpréter l'objet "différentielle"

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 10:51

Salut tout le monde

Vraiment merci pour l'explication même si j'aurai une dizaine de questions (voire plus )

Citation :
Marilyn aussi avait de l'ambition, bon c'est vrai que ça n'a pas porté chance à Kennedy, mais c'est un autre débat!

Dérivée et différentielleDérivée et différentielle

Sinon, tu peux me donner un exemple concret pour le faire correspondre aux explications

Merci beaucoup LE TIGRE

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 14:34

Salut MonroWWWWWW!

Trop fort ton smiley! :lol

Je t'en prie!

Pour les exemples, je te conseille de te frotter à quelques fonctions simples pour voir comment ça fonctionne.
Pour commencer considère la fonction f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}.

1)Quel est son ensemble de définition D?Prouve que f est continue sur D\{(0,0}.

(Point méthode sur la continuité des fonctions de plusieurs variables:

ça fonctionne dans les cas les plus simples comme en dimension 1, par contre ce n'est pas parce qu'une fonction est continue en chaque variable séparément qu'elle est continue en la variable (x,y).
PRopriétés sommaires:

*les projections (x,y)->x et (x,y)->y dont tu parlais ailleurs sont continues.
*Une somme, une différence un produit, l'inverse(quand elle est définie), de fonctions continues d'un ouvert U de \mathbb{R}^n dans \mathbb{R} est continue, de même que la composée fog où g:\mathbb{R}^n->\mathbb{R}^p et f:\mathbb{R}^p->\mathbb{R}^k.
*Si pour tout i entre 1 et p, f_i:\mathbb{R}^n->\mathbb{R} est continue, alors la fonction f:\mathbb{R}^n->\mathbb{R}^p qui à tout x associe le vecteur colonne f_1(x),...f_p(x)
est continue.
*Souvent en dimension 2, pour étudier la continuité en 0 on passe en coordonnées polaires surtout lorsqu'il y a des x² ou des y² : on pose x=rcos\phi,\;y=rsin\phi et la continuité de f en (0;0) équivaut à ce que la fonction de (r,\phi) obtenue admette pour limite f(0;0) lorsque r (=\sqrt{x^2+y^2}) tend vers 0.)

2)Calcule ses dérivées partielles au point a=(1;2).
3)Soit (x,y) un point de D\{(0,0)}.Calcule les dérivées partielles de f en ce point.
Prouve que si (x,y) n'est pas le couple nul, ces dérivées partielles sont continues en (x,y).
4)Déduis-en que f est différentiable sur D\{(0,0)}.Soit (x,y) non nul.Qu'est-ce que df(x,y)?
5)Prouve que f admet des dérivées partielles en (0,0).
A ton avis, f est-elle différentiable en ce point?(Utilise la question 1 et raisonne comme si on était en une variable, en admettant qu'on peut le faire dans ce cas).


Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 14:36

Dans la question 2, tu pourras aussi déterminer df(a).

Posté par
ottore : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 14:49

Je n'ai pas vraiment tout lu et je suis certain que ca a été très bien expliqué, mais je vais donner ma version de la définition:

Si f(a+h)=f(a)+M_a(h)+o(h)

où M_a est une application linéaire, alors f est dite différentiable en a.

Dans le cas des fonctions à valeurs réelles, M_a peut donc être vue comme une matrice ligne.
Les entrées de cette matrice sont les dérivées partielles de f.

En général, cette matrice est appelée la dérivée et l'application linéaire est appelée la différentielle.

Par exemple, dans le cas réel, mettons que f(x)=x^2
alors
f(a+h)=f(a)+2ah+h^2
=f(a)+M_a(h)+o(h)

Tu vois que la matrice M_a est celle qui ne contient qu'une case dans laquelle "on a mis" la valeur 2a.
2a est donc la dérivée de f en a.
La différentielle est l'application linéaire qui à h associe 2a.h
La differentielle est en fait la meilleure approximation linéaire de f(a+h)-f(a). (C'est une fonction de h)

a+

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:06

oui c'est clair aussi. Merci otto

Merci pour l'exo TigweG. Je m'y mets

Je n'ai pas encore vu les fonctions à plusieurs variables mais bon C'est un bon exercice pour démarrer

1) Pour l'ensemble de définition je pense que c'est clair: c'est R²\(0,0)

ben je ne pense pas avoir bien compris mais bon (c'est pas une limite non? ) Sinon, comme t'as dit on pose: x=r*cos(phi) et y=r*sin(phi)

On aura alors: f(r*cos(phi),r*sin(phi)==sin(phi)*cos(phi)

et après?

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:07

Fais tendre vers 0 pour montrer la continuité

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:08

Ah j'ai rien dit y'a plus de r

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:09

Salut Kevin

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:10

Ben justement, que peut-on en déduire sur la limite en (0,0)?

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:10

Elle est finie ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:12

oui.. donc la limite en (0,0) est (0,0) non? mais r peut être nul?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:13

Fais un dessin!

La limite dépend de phi!
C'est quoi phi?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:14

ben phi c'est un angle.. donc r est constante non nulle?

mais phi est juste un sigleton donc comment ça va tendre vers (0,0)?

(je te l'ai dit, j'embête avec mes questions qui ne finissent pas )

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:21

Lol, non phi c'est l'angle selon lequel tu fais tendre (x,y) vers 0.
r n'est pas constant puisqu'il tend aussi vers 0!

Mais si la limite dépend de phi, comment veux-tu que la fonction admette une limite en (0,0)?

Pense au parallèle avec les suites: (-1)n tend vers 1 si on se limite aux n pairs, vers -1 si on se limite aux n impairs, donc quelle est sa limite?Elle n'existe pas, mon bon monsieur!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:29

Rien à dire mon prof

(tu seras gentil avec moi si t'étais mon kholleur )

donc limite inexistante (pas d'infini donc avec ces fonctions à plusieurs variables) C'est bon..

f est continue sur R²\(0,0)

Comment calculer les dérivées partielles?

(ça fait partie de la topo tout ça? parce que chaque fois que je rencontre ce mot je rencontre des probs... Bolzano et continuité uniforme sont les meilleurs exemples )

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:31

Salut monrow

Tigweg > Oui r tend vers 0 car x et y tendent vers 0, mais phi il tend vers quelque chose ?

Merci.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:34

Citation :
tu seras gentil avec moi si t'étais mon kholleur


-> Tu m'as pas vu en vidéo?

La dérivée partielle en a=(1,2) par rapport à x s'obtient en fixant y à 2, donc en regardant si l'application x->f(x,2) est dérivable en 1, et, si oui, en la calculant.Capito?

Non, la topo c'est les prérequis!
C'est un outil pour différentier (entre autres choses qu'on peut faire avec la topo!), de même que l'algèbre linéaire est indispensable dans notre cadre, pourtant on ne peut pas vraiment dire qu'on soit en plein exo d'algèbre!

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:45

Je trouve 3$ \rm \{\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{8-2x^2}{(x^2+4)^2}\\\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1-y^2}{(1+y^2)^2}

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:47

Citation :
Tu m'as pas vu en vidéo?



Citation :
Oui r tend vers 0 car x et y tendent vers 0, mais phi il tend vers quelque chose ?

Je pense que comme à dit Tigweg phi dépend de la limite ... j'attends sa réponde qui doit être plus convaincante bien sur

-------------------------
Oui je capte

Donc f(x,2)=\frac{2x}{4+x^2}

\lim_{x\to 1}\frac{\frac{2x}{4+x^2}-2/5}{x-1}=3/25

la deuxième dérivée partielle c'est en f(1,y)=\frac{y}{1+y^2}

\lim_{y\to 2}\frac{\frac{y}{1+y^2}-2/5}{y-2}=-3/50

Donc les deux dérovées partielles sont: 3/25 et -3/50

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:48

Kevin>> On dérive en un point ou par rapport à x

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:49

Ouh là, c'est bien compliqué!

Euh...c'est pas du tout ça!
Tu réponds à la question 2 ou la question 3 au fait?

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:51

J'en sais rien

En tout cas pour la 3) je pense que c'est ça :

3$ \rm \{\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{yx^2+y^3-2yx^2}{(x^2+y^2)^2}\\\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{xy^2+x^3-2xy^2}{(x^2+y^2)^2}

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:52

Oui j'avais mal compris la 2)

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:53

Je répondais à KEvin!
Monrow>Inutile de passer par un taux de variaton, ta fonction est manifestement dérivable en x=1!
Il suffit de dériver mais je trouve 6/25 en remplaçant par 1.

Pour l'autre je trouve -3/25, pas sur 50.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:54

OK avec la question 3, Kevin!

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:56

Ensuite dans les dérivées partielles comme y est constant dans df/dx alors en faisant tendre x vers 0 on trouve 1/y qui est constant donc c'est continue en 0 (de même pour df/dy puisque c'est symétrique).

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 15:58

Pour la suite :

Citation :
cependant, si les dérivées partielles sont elles-mêmes continues en a, on peut prouver que f y est différentiable, ce qui est bien pratique en général!


Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 16:00

Donc c'est pas un problème les calculer, je suis pro en fautes de calculs

**Prouve que si (x,y) n'est pas le couple nul, ces dérivées partielles sont continues en (x,y).**

coordonnées polaires encore?

Posté par
infophilere : Dérivée et différentielle 10-07-07 à 16:01

monrow > Je ne pense pas puisqu'ici on a qu'une variable

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