Niveau Maths sup

Dérivée et intégrale entières

Posté par
Lysan 17-03-13 à 17:42

Bonjour. Je bloque en plein milieu de mon exercice. Un peu d'aide ne serait pas de refus.

On pose la fonction fn définie pour n et x par $f_n(x)=\frac{x^n(1-x)^n}{n!}$
On pose la fonction Fn définie par : $F_n(x)=b^n\sum_{k=0}^n (-1)^k\pi^{2(n-k)}f_n^{(2k)}(x)$

On sait que $F_n(0),F_n(1),f_n^k(0)$ et $f_n^k(1)$ sont des entiers.
On suppose que $\pi^2=\frac{a}{b}$ où a et b sont deux entiers naturels non nuls.

1. Soit $g_n(x)=F'_n(x)sin(\pi x)-\pi F_n(x)cos(\pi x)$
Montrer que $g'_n(x)=\pi^2a^nf_n(x)sin(\pi x)$

    Pour cette question je bloque à $g'_n(x)=[F''_n(x)+\pi^2F_n(x)]sin(\pi x)$

2. Soit $A_n=\pi\int_0^{1} a^nf_n(x)sin(\pi x) dx$
Montrer que An est un entier.

    Alors ici je ne voit pas du tout comment faire.

Posté par re : Dérivée et intégrale entières 17-03-13 à 17:45

Ah mince, un petit erratum : ce sont $f_n^{(k)}(0)$ et $f_n^{(k)}(1)$ qui sont des entiers
Autrement dit les dérivées k-ièmes

Posté par Dérivée et intégrale entières 18-03-13 à 13:33

Bonjour.

A partir de la définition de $F_n(x)$ , on obtient:
$F_n''(x)=b^n\sum^n_{k=0}(-1)^k\pi^{2(n-k)}f_n^{2(k+1)}(x)$
et
$\pi^2F_n(x)=\pi^2b^n\sum^n_{k=0}(-1)^k\pi^{2(n-k)}f_n^{(2k)}(x)$
                             $=b^n\sum^n_{k=0}(-1)^k\pi^{2(n-k+1)}f_n^{(2k)}(x)$
Le changement d'indices dans $F_n''(x), j=k+1$ donne:
$F_n''(x)=b^n\sum^{n+1}_{j=1}(-1)^{j-1}\pi^{2(n-j+1)}f_n^{2j}(x)$
                   $=-b^n\sum^{n+1}_{j=1}(-1)^j}\pi^{2(n-j+1)}f_n^{(2j)}(x)$
                             $=-b^n\sum^{n+1}_{k=1}(-1)^k}\pi^{2(n-k+1)}f_n^{(2k)}(x)$

La dernière expression est obtenue de la précédente en posant $k=j$ .
On obtient alors:

$F_n''(x)+\pi^2F_n(x)=b^n\pi^{2(n+1)}f_n(x)-b^n(-1)^{n+1}f_n^{2(n+1)}(x)$

                             $=b^n(a/b)^{(n+1)}f_n(x)-b^n(-1)^{n+1}f_n^{2(n+1)}(x)[$

                             $=a^n(a/b)}f_n(x)-b^n(-1)^{n+1}f_n^{2(n+1)}(x)[$

                             $=\pi^2a^nf_n(x)-b^n(-1)^{n+1}f_n^{2(n+1)}(x)[$

Que vaut $f_n^{2(n+1)}(x)$   ( Ne pas oublier que $f_n(x)=\frac {x^n(1-x)^n} {n!}$ est un polynôme de degré = ...).  Continuer.

Remarque: Pour plus de clarté, le changement d'indices a été fait en 2 étapes 1) j=k+1 puis  2) k=j (les indices sont des variables muettes)

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