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dérivée et limites

Posté par
Matouille2b 03-12-06 à 17:39

Bonjour à tous, j'ai un petit problème avec cet exercice, si quelqu'un a une idée ...

Soit f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dérivable telle que :
lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = 1

Montrer que lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = +\infty

J'ai reussi à prouver que f etait croissante mais je n'arrive pas à conclure (i.e à montrer qu'elle n'est pas bornée)

Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée et limites 03-12-06 à 17:50

Bonsoir Matouille2b

Il y a déjà un truc louche.
Si \Large{\lim_{x%20\rightarrow%20+\infty}%20xf(x)%20=%201} alors \Large{f(x) est équivalent à \Large{\frac{1}{x}} en l'infini et donc f tend vers 0.
Chercher l'erreur !

Kaiser

Posté par
Cauchyre : dérivée et limites 03-12-06 à 17:51

Bonjour,

c'est moi ou c'est impossible si f(x)--->+infini alors xf(x) aussi??

Posté par
Roulianere : dérivée et limites 03-12-06 à 17:54

y'a un blème dans l'énoncé, t'es sur de ton énoncé Matouille ?

Posté par
Roulianere : dérivée et limites 03-12-06 à 17:54

oups y'a du monde avant moi

Posté par
Cauchyre : dérivée et limites 03-12-06 à 17:57

Salut Rouliane

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée et limites 03-12-06 à 17:58

Bonsoir tout le monde (au cas où il y aurait d'autres personnes qui interviendraient sur ce topic )

Posté par
Roulianere : dérivée et limites 03-12-06 à 18:03

Salut tout le monde

Posté par
Matouille2bre : dérivée et limites 03-12-06 à 18:07

Bonsoir à tous !!!!

Excusez moi j'ai fait une ERREUR de frappe

C'est \lim_{x \rightarrow +\infty} xf'(x) = 1

Posté par
Matouille2bre : dérivée et limites 03-12-06 à 18:52

Personne a une idée ????

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée et limites 03-12-06 à 19:14

Je crois avoir trouvé.
Par hypothèse, \Large{\lim_{x\to+\infty}xf'(x)=1}, donc il existe a strictement postif tel que pour tout x supérieur à a, \Large{xf'(x)\geq \frac{1}{2}}.
Ainsi, pour tout x supérieur à a, on a \Large{f'(x)\geq \frac{1}{2x}}, c'est-à-dire \Large{f'(x)-\frac{1}{2x}\geq 0}

Pour x supérieur à a,posons \Large{g(x)=f(x)-\frac{\ln(x)}{2}} (ceci a bien un sens car a>0)
D'après, ce qui précède, pour tout x supérieur à a, on a \Large{g'(x)\geq 0}.
On en déduit donc que g est croissante. En particulier, pour tout x supérieur à a, on a \Large{g(x)\geq g(a)}.
Je te laisse continuer.

Kaiser

Posté par
Matouille2bre : dérivée et limites 03-12-06 à 19:18

Merci Kaiser !!!
C'était super simple en fait, il suffisait d'intégrer l'inégalité !!!

Bonne soirée

Posté par
kaiser Moderateurre : dérivée et limites 03-12-06 à 19:22

Mais, je t'en prie !


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