Ben la differentielle est de carré nul et elle satisfait la regle de liebniz (graduée) et elle est linéaire, c'est tout ce dont tu as besoin.
Est ce que c'est propriétés te sont connues? Si oui alors tu devrais trouver l'expression voulue.

Oui, c'est ce que j'ai fait. J'arrive à :



Mais je ne vois pas où intervient l'opérateur , je pense que je suis en train de confondre beaucoup de chose.

Ben le wedge c'est le produit pour les formes differentielles.
Quand je dis la regle de liebniz graduée c'est pour le wedge product, y a pas d'autre produit défini sur les formes differentielles (ou plus généralement sur l'algèbre extrérieure).
Tu as

Ah d'accord, au temps pour moi. Je ne connaissais pas, je vais me renseigner un peu plus sur ça avant de continuer mon pdf (surtout l'exposant deg(a) m'intrigue, m'enfin peut-être que je verrai ça en cours demain). Merci de l'aide, c'est vrai qu'avec cette formule ça va assez vite.

Bonne soirée.

Ok, je peux t'en dire un peu plus si tu veux (notamment sur le deg(a), ou globalement sur la structure d'algèbre exterieure sur les formes  sur une variété)... mais si tu preferes garder le suspens je comprends! ^^

Oh au contraire, si ça ne te dérange pas je suis prenant ! C'est juste que je ne pense pas avoir encore le bagage mathématiques pour comprendre la thématique abordée, mais pendant ces grandes vacances je pourrai y revenir sans problème (à toi de voir si tu as un peu de temps à perdre pour de la rédaction )

Oh tu sais, moi j'aime bien causer de maths, alors ca me fait tjs plaisir!
Je te rédige un petit truc.

Dans la suite X peut etre soit un ouvert de soit une variété lisse.

Globalement si est un espace vectoriel (disons de dimension d pour fixer les idées) tu veux construire l'algèbre extérieur sur V.
Tu définis d'abord la p-ième puissance extérieure de V, comme un espace vectoriel, muni d'une application p-linéaire alternée, et qui soit universel pour les applications p-linéaires c'est à dire que tout application p-linéaire   pour n'importe quel espace vectoriel T se factorise de manière unique à traver la p-ieme puissance extérieure   (avec la composée des deux fleches donnant le f d'origine).

C'est facile de montrer qu'un tel V existe et est unique. L'application est notée par le wedge et est p-linéaire alternée.

Si x est un point de X, alors on peut appliquer la construction à l'espace cotangent à X en x. Si X est un ouvert de R^n, ce sont simplement les formes linéaires sur R^n que tu interpretes comme l'espace (co)tangent à ton ouvert en x.

On peut faire ça pour tout X, en quitte à regarder localement on peut considerer les fonctions de lisses, ce qu'on appelle une p-forme sur U. Sur X tout entier on recolle ces constructions locales. L'ensemble des p-formes sur est noté .
Localement sur un petit ouvert U homéomorphie à R^n, les p-formes sont donc données par des sommes de .
une 0-forme est simplement une fonction lisse.

Tu obtiens une algèbre Ou le produit est gadué (le wedge produit d'un p-forme et d'une q-forme est une (p+q)-forme.

Tu définis alors une differentielle sur l'agèbre qui est parfaitement caractérisée par
1) Pour d est donnée par la differentielle usuelle.
2)Pour , tu as .

L'algèbre des formes sur une variété est un objet de base fondamental pour étudier les propriétés de ta variété, pour 10 000 raisons.

En particulier tu peux remarque que si est un espace vectoriel de dimension d, et si est son dual, alors tu as une identification donnée par ce qui explique ta formule de départ donnée par

Le popint clé étant que le déterminant de p-vecteur une p-forme alternée.

Wow, merci pour tout ça ! Je sais ce que j'ai à faire pendant ces grandes vacances. C'est très gentil de ta part, post mis en favoris directement

Coucou !
Tout ça m'intéresse car je suis dans les formes différentielles en ce moment.
Donc topic également en favori pour moi.

@Kernelpanic : juste pour préciser ta formule initiale :



En vertu des règles énoncées :

A une typo près

Oui, bon ok, on va pô s'fâcher pour si peu :