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derivée faible

Posté par
smooth5185 21-10-07 à 13:51

Bonjour a tous.
Voila, je seche sur deux petits exos (dont j'imagine basiques) mais je n'ai jamais manipulé cela avant donc je ne sais meme pas comment partir:

EXO1
mtq la fonction f(x):|x| est faiblement derivable et calculer sa derivée faible.

EXO2
La fonction de Heaviside (fonction indicatrice de R+) est elle faiblement derivable?
Merci beaucoup a bientot

Posté par
Roulianere : derivée faible 21-10-07 à 13:56

Bonjour,

la dérivée faible est la dérivée au sens des distributions ?

Posté par
smooth5185re : derivée faible 21-10-07 à 14:02

Ouai c'est ca
au fait j'ai une def:une fct L1,loc(R) est faiblement derivable s'il existe f' de L1loc(R) tq pour tout g de Ccinfini(R) on est:<f,d/dxg>
=-<f',g>.

Posté par
Roulianere : derivée faible 21-10-07 à 14:06

Oui, c'est plus ou moins la définition de la dérivée au sens des distributions.

Par la la définition des distribution pour une fonction L1_loc ( avec l'intégrale ) et grace à une IPP tu trouveras ton résultat( tu répondras aux 2 questions en même temps en fait )

Posté par
smooth5185re : derivée faible 21-10-07 à 14:06

ok je vais voir tt ca je te tien au courant merci

Posté par
Roulianere : derivée faible 21-10-07 à 14:07

ok

Posté par
smooth5185re : derivée faible 21-10-07 à 14:29

dsl mais au fait je ne vois pas trop comment ca marche
il faut calculer la transformee de fourier de f(x)=|x|?

Posté par
Roulianere : derivée faible 21-10-07 à 14:36

Non, pas du tout. Pourquoi la transformée de Fourier ?

Il faut trouver une distribution 3$ T_{f'} tel que pour toute fonction test \varphi, on ait :

4$<T_f,\varphi'>=-<T_{f'},\varphi>=

Commence par écrire que 3$ <T_{f},\varphi'>=\Bigint_{\mathbb{R}} f(x)\varphi'(x)dx puis IPP etc... et faut alors te ramener à 3$ -\Bigint_{\mathbb{R}} f'(x)\varphi(x)dx

Posté par
smooth5185re : derivée faible 21-10-07 à 14:58

au final tu trouve donc :f'(x)=1 si x>0 et -1 si <0

Posté par
smooth5185re : derivée faible 21-10-07 à 15:10

mais pour l'exo2 il faut mq la fonction indicatrice de R+ est elle faiblement derivable
ie:que f appartient à Hs(R) comment le prouver ?


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