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dérivée k-ieme
Nous avons rencontré un petit problème pour notre devoir maison de maths,un exercie nous pose beaucoup de qustion..On doit montrer qu'une fonction dérivée k fois admet k + 2 points en [-1;1] sachant que la fonction s'annule en -1 et 1 a l'aide du théoreme de rolle.
On ne sait pas trop comment s'y prendre, on a essayé une démonstration par récurrence, on assayé de décomposé la dérivée k-ieme mais ca ne donne rien, une petite idée pour nous lancer serait la bienvenue!
Bonjour,
Cet exercice me dit quelque chose, mais je ne peux pas vous aider si je ne comprends pas l'énoncé...
c'est a dire?
la fonction est la suivante :f(x)= (1-x)n (1+x)n on a déja démontré que la dérivée k-ieme s'annulait en -1 et 1, on nous demande après de montrer que la dérivée k-ieme s'annule en k+ 2 points de [-1;1] a k appartient a [1,....,n-1] a laide du thérome de rolle.J'espere avoir été un peu plus clair..
Bonjour,
Merci...
il est important de voir que f(x) a deux racines 1 et -1 d'ordre n. Alors on a d'une part, f'(x) admet 1 et -1 comme racine d'ordre n-1 (il suffit de le calculer pour s'en convaincre). D'autre part, d'aprés le théorème de Rolle, il existe c tel que f'(c)=0 sur ]-1,1[ (avec les hypothèses apropriées). Or deg(f'(x))=deg(f(x))-1=2n-1 et on connait 2(n-1) "racines" (1 et -1 d'ordre n-1 ), donc c est racine d'ordre 1 de f'(x).
Si tu as compris la première étape tu peux montrer ce qu'on te demande par recurrence. Fait un dessin pour comprendre :
_____-1______________________________________1_________
f(x) 0 0 ordre 2n
ordre n n
f'(x) 0 0 0 ordre 2n-1
ordre n-1 1 n-1
f''(x) 0 0 0 0 ordre 2n
ordre n-2 1 1 n-2
.... c'est chiant à dessiner ici...
Si tu comprends ça tu as tout compris......
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