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dérivée k ième
Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à résoudre, ou me donner quelques pistes, un petit exercice
sur les dérivées
Je vous remercie à l'avance de votre aide
On pose, pour tout entier naturel n et tou réel x
Pn(x)=1+x+x²/2!+x^3/3!+...+x^n/n!
1. Calculer la dérivée k-ième de Pn
2. L'entier naturel n étant fixé, montrer qu'il existe un
réel A tel que la fonction f(x)=exp(x)-Pn(x)-Ax^(n+1) s'annule
au point x=1
3. En appliquant le théorème de Rolle, montrer qu'il existe un
réel c 
]0,1[ tel que exp(c)=(n+1)!A
4. Montrer que la suite (Pn(1)) converge et préciser sa limite
Pn(x)=1+x+x²/2!+x^3/3!+...+x^n/n!
Pn'(x) = 1 + x + 3x²/(3!) + 4x³/4! + ... + n.(x^(n-1))/n!
Pn'(x) = 1 + x + x²/(2!) + x³/3! + ... + (x^(n-1))/(n-1)!
C'est Pn(x) avec un terme en moins.
Pn''(x) = 1 + x + x²/(2!) + x³/3! + ... + (x^(n-2))/(n-2)!
C'est Pn(x) avec 2 termes en moins.
dérivée k ème de Pn(x):
Pn(^k)(x) = 1 + x + x²/(2!) + x³/3! + ... + (x^(n-k))/(n-k)!
C'est Pn(x) avec k termes en moins.
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Pn(1) = 1 + 1 + (1/2!) + (1/3!) + ... + (1/(n-k)!)
développement de Taylor (Mac Laurin) de e^x:
e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... (nombre infini de termes)
e = 1 + 1 + (1/2!) + (1/3!) + ... (nombre infini de termes)
f(1) = e - Pn(1) - A.1^(n+1)
f(1) = (1/((n-k)+1)!) + (1/((n-k)+3)!) + (1/((n-k)+3)!) + ... - A
f(1) = 0 pour A = (1/((n-k)+1)!) + (1/((n-k)+3)!) + (1/((n-k)+3)!) + ...
Suite qui est convergente et tends vers une valeur > 0 mais <= e.
-> A est un réel avec 0 < A <= e
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En lisant la suite de l'exercice, je me demande si je n'ai
pas utilisé le développement de e en série de Mac-Laurin alors que
ce n'était pas encore appris.
Dans le doute, je m'arrête là.
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