??

Salut!

Decidement...

Je pense qu'avec la formule de Leibniz (c'est comme la formule de Newton, pour les derivees d'un produit), ca se fait bien.



(les "puissances" entre parentheses sont les derivees successives).

Bon la apres, je fatigue un peu.  Ce qui est facile, c'est de voir que jusqu'a la derivee (n-1)-ieme, P(k)(0) = P(k)(1) = 0.
Et puis aussi, a partir de la derivee (2n+1)-ieme, il reste pas grand chose du polynome.

C'est entre les deux que ca se corse. Peut-etre demain si je suis plus en forme.

biondo

Ok ça a l'air de marcher. Je trouve moi aussi P^(k)(0)= P^(k)(1)= 0
par contre j'ai du mal pour "l'entre les deux".
De toute façon il est plus que temps d'aller dormir

Bonsoir;
On peut remarquer que le polynome et de degré et donc que et il suffit maintenant de développer par la formule du binome ce qui donne
et par identification on a que:

vu que on a par dérivations successives que et donc que d'où:


Sauf erreurs bien entendu

waou ça c'est de la formule. Il va me falloir une demi-heure pour déchiffrer tout ça.
Je ne suis pas encore très à l'aise avec toutes ces formules sur les polynômes. Mais j'y travaille

Ok la première: formule de Taylor. C'est compris. J'enchaine

whaou seulement 5 min pour la première formule!

Pourrais -tu détailler davantage cette étape?
=
avec k= n+i

J'ai remplacé les n+i par k. Jusque là pas de problème. Mais je ne comprends pas comment tu fais pour te débarrasser des n-i.

Yep.

on retrouve ce qu'a indique elhor, en partant avec la formule de Leibniz.

En 0 par exemple, il faut voir que les derivees successives de X^n vaudront 0 tout le temps, sauf lorsque l'indice i de la sommation vaut exactement n (la derivee n-ieme est une constante, n!). On n'a donc qu'un terme a calculer, pour i = n. Ce qui devient faisable.

A+
biondo

En 0 par exemple, il faut voir que les derivees successives de X^n vaudront 0 tout le temps, sauf lorsque l'indice i de la sommation vaut exactement n
Je ne comprends pas pourquoi.

Je t'écris ce que je crois comprendre.

P^(k)= 1/n!.
P^(k)(0)=1/n!.

Il me semble que quelle que soit la valeur de k, (o^n)^(i)  est toujours 0
Et donc la dérivée k-ième de P en 0 vaut toujours 0 . Où est mon erreur?

P^(k)(1)= 1/n!.= 0
Ca aussi c'est faux?

He heeee.

Ca vaut 0, "tant qu'il reste du X".
Si c'est pas des mathemeatiques rigoureuses, ca.

Prenons juste X par exemple. En 0, ca fait 0. pas de pb.
Mais quand je derive une fois.... Ca fait 1. meme en 0.

C'est pour ca que je dis que les derivees i-iemes de X^n, en zero, valent 0 tout le temps, sauf lorsque j'ai derive exactement n fois. Car alors j'ai une constante (non nulle de surcroit).

Idem en 1 par "symetrie" (encore de la rigueur mathemeatique de premier choix).

Ca va mieux?

biondo

yep très juste y'en a des choses à voir!

Je crois que c'est clair.
C'est pas mal comme exercice, parce que ça me permet de m'entrainer à manipuler les sommes et les formules de Leibniz avec lesquelles je ne suis pas très à l'aise...
J'ai encore un tas d'exo qui me posent problème. Je vais encore avoir besoin de vous mettre à contribution. Je trouve que les solutions ne sont vraiment pas faciles à voir. J'imagine que ça vient avec la pratique.
Merci à vous deux

Je crois que je vais quand même essayer de vous le rédiger...

P(x)=

En utilisant la formule de Leibniz (est-ce qu'il est utile de préciser qu'on utilise telle ou telle formule dans une démonstration en algèbre?) on obtient:



Il y a un particulier.
Si i= n, alors  = 1

calculons maintenant .

Pour i différent de n
= 0

Mais même quand i=n , il me semble que (-1)^(k-i) est nul de toute façon et que
est nul qu'elle que soit la valeur de k.

Même chose pour

Et en relisant la correction de elhor_abdelali, je vois que je suis encore loin du compte. J'ai encore besoin d'explications visiblement.

??

Ah.
la je vais etre un peu juste (je suis au travail, alors qu'hier c'était plutot les vacnces).

Ce soir surement.

Juste: il y a  bien trois cas a considerer: k plus petit que n, k plus grand que 2n, et entre les deux.

Et la dérivée n-ième de X^n, c'est (n!).

Sinon elhor va bien finir par se manifester

biondo

Comment (-1)^(k-i) peut être nul, il faudra qu'on m'explique...

Tout d'abord en remarquant que P(x)=P(1-x), on déduit que P^(k)(0)=(-1)^kP^(k)(1) donc pour ton exo il suffit de calculer en 0. Ensuite pour tout polynôme il se trouve que le coefficient de X^k est égal à P^(k)(0)/k!

La formule du binôme nous permet de conclure en écrivant le développement de
(1-x)ⁿ, en effet nous constatons qu'en dessous de n la dérivée en 0 est nulle, et que la dérivée (n+i)-ème vaut (n+i)!.(-1)^n-iC_nⁱ/n!

Je te laisse faire la simplification.

Mais même quand i=n , il me semble que (-1)^(k-i) est nul de toute façon


Je vous promets que je n'avais pas abusé de substance illicite.

Du coup je pense que les choses vont s'éclaircir... J'y réflêchis.

Heu bein si finalement c'est pas si absurde ce que j'avais écrit.
Si je dérive -1  k-i fois, j'obtiens 0 sauf si k=i.

Est ce que mon erreur ne vient pas simplement de l'ordre dans lequel je m'y suis pris. Je m'explique:

((X-1)^n)^(k-i)   en 0   =   je dérive (X-1)^n   k-i fois, et dans le polynôme que j'obtiens, je mets 0 à la place des X.

Maintenant ça me paraît logique ce que j'écris...

Je crois que c'est ça que je n'arrivais pas à comprendre. Je prenais ma formule et je mettais simplement 0 à la place des X.
Je vais essayer d'y plancher.

Je vous écrit une fois de plus ce que je comprends.

pour i<n
(X^n)^(i)= n(n-1)....(n-i+1)X^(n-i)
donc (0^n)^(i)= 0


pour i=n
(X^n)^(i)= n!
donc (0^n)^(i)= n!

donc puisque i varie entre 0 et k, pour k< n, on est sûr que la somme est toujours égale à 0 en 0

Jusque là il me semble que ça fonctionne. Par contre après j'ai vraiment du mal avec le raisonnement. Je vais essayer les différents cas que tu me proposes biondo et voir ce qui se passe.

écris

Je ne m'en tire pas. :/

Est ce que Biondo ou un autre a le courage de me donner une correction détaillée en passant par la formule de Leibniz (parce que c'est là dessus que je suis parti)?

C'est parti.

A partir de la formule, on fait trois cas (on se limite au calcul en 0, le calcul en 1 s'obtient facilement):

0 < k < n

Alors pour tout i entre 0 et k, (X^n)(i) = n!/(n-i)! . X^(n-i)
DOnc la valeur en 0 de chacun des termes de la somme vaut 0, car n-i>0
Donc la somme vaut 0


n<= k < 2n+1

ALors pour tout i entre 0 et n-1 (sens large), (X^n)(i) = n!/(n-i)! . X^(n-i)
Donc ces termes valent 0 en 0.

ALors pour i = n, (X^n)(i) = n!

et pour i> n (et inférieur à k), (X^n)(i) = 0
donc les termes correpsodnants de la somme sont nuls.

Le seul terme non nul est le terme correspondant à i = n
((X-1)^n)(k-n) = n!/(n-(k-n))! (X-1)^(n-(k-n))

Je te laisse faire le calcul de ce truc en 0 et modifier l'expression.


k > 2n
Le polynome etant de degre 2n, clairement, les dérivées sont nulles.



Ca va?

A+
biondo

Ah enfin tu as fini de bosser. Je t'attendais avec impatience
Je me plonge dans ta correction.

((X-1)^n)(k-n) = n!/(n-(k-n))! (X-1)^(n-(k-n))

J'arrive à :

n!  ./(2n-k)!

donc  

pour k compris entre n et 2n

et i=n,  
P^(k)(0)=1/n!(n! )^2 ./(2n-k)!  

= n!./(2n-k)!

Hum je ne suis pas du tout sûr de moi.
Il me semble qu'on ne peut rien faire avec . Je ne vois pas comment simplifier. Et je n'ai pas l'impression de retrouver la solution d'
elhor_abdelali.

Attention!

C'est pas Cn.k, mais Ck.n.... nuance. k est plus grand que n, il est "en bas" dans le C (enfin si on peut dire)

et la` du coup des trucs se simplifient....

Ah oui j'ai inversé i et k dans ma formule... Donc j'ai C n parmis k, avec k compris entre n et 2n.
Par contre je ne sais pas trop comment simplifier.
Je sais juste que quand k vaut n, =1   et que quand k vaut 2n,
= (2n)!/(n!)^2   (sauf erreur :/ )
Par contre, je ne vois pas trop ce qui se passe entre ces deux valeurs.

Ben par definition:

Ck,n = k!/(n!.(k-n)!)

Pas besoin de plus. C'est assez genant, je te l'accorde, on a plus l'habitude de Cn.k... Mais on s'en fiche!

Et on simplifie ce qu'on peut dans l'expression.... k varie, d'accord, mais pour un k donne je connais l'expression. DOnc je le calucle, et le resultat est fonction de k. So what...

J'ai tendance a taper vite, et a inverser certaines lettres (calucle = calcule)
(les accents, c'est mon clabier qwerty qui n'en a pas).
Je m'en excuse...

J'arrive à

Est ce que c'est correct? Et est ce qu'on peut simplifier davantage?

Heu.

Tu as simplifie un truc bizarrement:

k!/((k-n)!.(n!)) . (-1)^(2n-k) . n!/(2n-k)!

Donc il reste:
k!/((k-n)!.(2n-k)!) . (-1)^(2n-k)

et en fait (-1)^(2n-k) = (-1)^k   (assez facile).
On trouve l'expression d'elhor...


Et on eput pas trop simplifier. J'ai tente des C(2n,k) mais ca rend pas trop....


Pis y a un moment ou faut savoir s'arreter. :p

biondo

(-1)^(2n-k)= (-1)^k  (assez facile).
hum ça ne me saute pas aux yeux. :/  
Il me semble que puisque k varie entre n et 2n,   2n-k varie entre 0 et n.
Je ne comprends pas comment tu trouves cette égalité.

Mais c'est promis je vais finir par y arriver J'ai presque tout compris (ça c'est pour te remonter le moral si tu commences à fatiguer ) . Il y a juste deux ou trois petites choses qui me dérangent dans le cheminement d'elhor.

Dis-moi tu te couches à pas d'heure toi! OOh56 c'est pas une heure pour bosser sur ilemaths

hum en fait je suis un peu bête non?
Je suppose que (-1)^(2n-k)= (-1)^k  parce que = 1 ou -1.
Et que (-1)^m  pour m variant entre 0 et n est donc équivalent à (-1)^m  pour m variant entre n et 2n.

C'est un peu l'idée;

(-1)^(2n) = (-1)^(2k) = 1

et je fais passer un k du côté gauche...


biondo

whaou ce coup-ci je crois que j'ai tout compris. En tout cas je suis capcable de l'expliquer dans le détail. Tant pis pour ce que je ne comprends pas dans le calcul de elhor. Je vais me contenter de la formule de Leibniz.
Merci à vous tous

oh je crois avoir compris une des choses qui me gênaient dans le calcul d'elhor.
c'était ce que tu m'as expliqué avec ...

Il ne me reste plus qu'une chose qui n'est pas très claire. Il utilise pour donner son P^(k)(0) une somme de n à 2n. Je ne comprends pas comment à partir de cette somme il peut ...

OHHH j'ai eu une illumination!! Ca y est je crois que tout est clair. En fait on s'en fout si la somme n'est pas de 0 à 2n puisque l'on sait que pour k<n, P^(k)(0) est toujours égal à 0 .
Ca me plaît ce qu'il a écrit. Je trouve ça assez élégant

Je suis en train de voir par la même méthode ce qui se passe pour P^(k)(1)
Je sais que vous l'avez fait par "symétrie", mais je ne suis pas très à l'aise avec ça et j'ai essayé de suivre le même raisonnement que pour P^(k)(0).

J'arrive à :
pour n<= k<= 2n
  si k-i < n  alors p^(k)(1)=0
  si  k-i> n  alors p^(k)(1)=0
  si k-i =n  
alors  ((X-1)^n)^(k-i)= n!
J'étudie donc ce qui se passe dans le reste de la somme. Et j'ai un problème.
Si k=2n  et i= n  , on a   k-i= n
(X^n)^(i)=n!

Et le seul terme non nul de ma somme devient:

1/n! .   n! n! =k!/ (k-n)!

Je suis en train de me dire que pour ne pas être embêté, le plus simple est de réécrire ma formule de Leibniz.

Au secours! J'ai le même problème dans le calcul de P^(k)(0)

pour  k= 2n    et i=n

((X-1)^n)^(2n-n)= n!
et (X^n)^n=n!
Et j'obtiens:

P^(k)(0)= 1/n! . . n!.n!= (2n)!/ n!

ouf ça colle. Je retrouve la formule générale.

Je ne retombe pas sur la formule d' elhor_abdelali pour  p^(k)(1)

p^(k)=  1/n!

le seul terme non nul est quand   n<=k<= 2n    avec i=n
J'obtiens:
P^(k)(1)= 1/n! 1. n! =
k!/( (k-n)!.n!)

Pourriez-vous m'indiquer si j'ai fait une erreur ou comment je peux retrouver le résultat d' elhor_abdelali? (celui du 17/10/2005 à 03:18)

Non ça ne correspond pas. Au secours.

J'ai dit que

= n(n-1)...(n-k+n +1) ( pour k inférieur à 2n)   donc pour X= 1, on obtient 1.
= n!
= k!/ ( n!(k-n)!)
Je multiplie tout ça par 1/n!

Où est mon erreur?

Ah non mince!

(X^n)^{(k-n)}= n(n-1)...(n-(k-n)+1)X^{n-(k-n)}    (y compris pour k=2n)
D'où   en 1 on obtiens:
n(n-1)...(n-(k-n)+1)=  n!/  (n-(k-n))!=  n! / (2n-k)!


YYEESSS j'ai réussi à réparer ma bêtise tout seul. Aujourd'hui est un grand jour !