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Dérivée n-ième

Posté par
tanb56 23-04-23 à 17:20

Bonjour à tous !
J'ai un petit souci avec la démonstration d'une dérivée successive :
(il y avait une partie qui s'intéressait à la continuité/dérivabilité de la fonction, mais je l'ai déjà traitée)
On considère ici la fonction f(x)= \frac{e^{-x}-1}{x}
On considère x ∈ R*
On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
f^{(n)}(x)=\frac{P_{n}e^{-x}+a_{n}}{x^{n+1}}
où P_{n} est un polynôme de degré n et a_{n} ∈ R. On veut montrer au passage :
P_{n+1}=XP'_{n}-(X+n+1)P_{n}
a_{n+1}=-(n+1)a_{n}
J'applique donc le raisonnement par récurrence sur n :
Initialisation : n=0
f^{(0)}(x)=\frac{P_{0}e^{-x}+a_{0}}{x^{1}} = f(x)
Et j'imagine que a_{0}=-1
Hérédité : Soit n ∈ ℕ, on suppose f^{(n)}(x)=\frac{P_{n}e^{-x}+a_{n}}{x^{n+1}} .
On a :
f^{n+1}(x)=(f_{n})'=(\frac{P_{n}e^{-x}+a_{n}}{x^{n+1}})'
Sauf qu'à partir de là, je ne sais pas trop comment partir, et surtout comment je fais apparaître le X dans l'expression de P_{n+1} alors qu'on ne connaît pas sa nature.

Voilà, j'espère que vous pourrez m'aider...

Posté par
tanb56re : Dérivée n-ième 23-04-23 à 17:29

Je pense pouvoir m'en sortir avec la formule de Leibniz, mais le hic c'est qu'on me demande de la rappeler juste après, donc je ne sais pas si c'est vraiment utile...

Posté par
verdurinre : Dérivée n-ième 23-04-23 à 18:34

Bonsoir,
l'écriture P_n désigne ici P_n(x).

Pour l'hérédité il suffit de dériver \dfrac{P_{n}(x)\,e^{-x}+a_{n}}{x^{n+1}}

On obtient en prime des relations de récurrences  entre P_{n+1} et P_n et entre a_{n+1} et a_n.

Posté par
Rintarore : Dérivée n-ième 23-04-23 à 18:36

Bonsoir,

il me semble que l'initialisation devrait également couvrir le cas n = 1 pour vérifier les relations de récurrence pour Pn et an. Mais en tout cas oui, tu dérives comme tu as l'habitude de faire avec la règle de Leibniz.

Posté par
Rintarore : Dérivée n-ième 23-04-23 à 18:37

Bonsoir verdurin, je n'avais pas vu ton intervention, je dois m'en aller de toute façon.

Bonne soirée à vous deux.

Posté par
verdurinre : Dérivée n-ième 23-04-23 à 18:58

Pour simplifier le calcul on peut remarquer que

\dfrac{P_{n}(x)\,e^{-x}+a_{n}}{x^{n+1}}=\bigl(P_{n}(x)\,e^{-x}+a_{n}\bigr)\cdot x^{-(n+1)}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Dérivée n-ième 24-04-23 à 01:53

Bonsoir

\bullet L'initialisation est immédiate vu que \Large\boxed{\forall x\in\mathbb R^*~,~f^{(0)}(x)=f(x)=\frac{P_0e^{-x}+a_0}{x^{0+1}}} avec \Large\boxed{P_0=1~,~a_0=-1}.


\bullet Supposons que pour un certain n\in\mathbb N on ait \Large\boxed{\forall x\in\mathbb R^*~,~f^{(n)}(x)=\frac{P_ne^{-x}+a_n}{x^{n+1}}} avec \Large\boxed{deg(P_n)=n~,~a_n\in\mathbb R}.

On a alors en écrivant \Large\boxed{\forall x\in\mathbb R^*~,~ xf(x)=e^{-x}-1} et en dérivant n+1 fois par Leibniz,


\Large\boxed{\forall x\in\mathbb R^*~,~ xf^{(n+1)}(x)+(n+1)f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}e^{-x}}


c'est à dire \Large\boxed{\forall x\in\mathbb R^*~,~ f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}e^{-x}-(n+1)f^{(n)}(x)}{x}} d'où en utilisant l'hypothèse de récurrence,


\Large\boxed{\forall x\in\mathbb R^*~,~ f^{(n+1)}(x)=\frac{\left((-1)^{n+1}x^{n+1}-(n+1)P_n\right)e^{-x}-(n+1)a_n}{x^{n+2}}}


ce qui donne \Large\blue{\boxed{P_{n+1}=(-1)^{n+1}X^{n+1}-(n+1)P_n}} qui est bien un polynôme de degré n+1 et \large\blue{\boxed{a_{n+1}=-(n+1)a_n}}.


\bullet Remarque : à partir des encadrés bleus on montre assez facilement que,


\Large\red{\boxed{\forall n\in\mathbb N~,~P_n=(-1)^nn!\sum_{k=0}^n\frac{X^k}{k!}~~,~~a_n=(-1)^{n+1}n!}} sauf erreur bien entendu

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dérivée n-ième 24-04-23 à 09:05

Bonjour,
Dommage de fournir une solution aussi détaillée.
Et lire ceci :

tanb56 @ 23-04-2023 à 17:29

Je pense pouvoir m'en sortir avec la formule de Leibniz, mais le hic c'est qu'on me demande de la rappeler juste après, donc je ne sais pas si c'est vraiment utile...

Si nous avions les questions transcrites sans être modifiées, avec celle où Leibniz est évoquée, on pourrait aider avec plus d'efficacité.

Posté par
tanb56re : Dérivée n-ième 24-04-23 à 10:00

Bonjour edhor_abdelali, je tombe sur le même résultat que vous en utilisant Leibniz, je vous remercie quand même de votre réponse détaillée ! J'ai eu un peu de mal à faire apparaître le X tout de même ^^'
Pour répondre à Sylvieg : Il est vrai que j'aurai du écrire l'énoncé non modifié, veuillez m'excuser...

Merci à tous pour votre soutien !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dérivée n-ième 24-04-23 à 10:13

Citation :
Il est vrai que j'aurai du écrire l'énoncé non modifié,
Il est encore temps

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dérivée n-ième 24-04-23 à 10:19

Avez-vous essayé de tenir compte des conseils de verdurin ?
Ça marche très bien.

Posté par
tanb56re : Dérivée n-ième 24-04-23 à 12:29

Voici l'énoncé complet :

On considère dans cette partie x ∈ R*
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, f^{(n)}(x)=\frac{P_{n}exp(-x)+a_{n}}{x^{n+1}}
où P_{n} est un polynôme de degré n et a_{n} ∈ R. On montrera au passage : P_{n+1}=XP'_{n}-(X+n+1)P_{n} \\ a_{n+1}=-(n+1)a_{n}
2. Calculer a_{0},a_{1},a_{2},P_{0},P_{1},P_{2}
3. Proposer une expression simple pour a_{n}
4 (a) On note g la fonction définie et de classe C^{\infty} sur R* par g(x)=1/x. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
g^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}
(b) Rappeler l'énoncé de la formule de Leibniz et en déduire :
f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}(e^{-x}-1)+(-1)^{n}n!e^{-x}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k!}\frac{1}{x^{n-k+1}}}
(c) Montrer finalement que P_{n}(x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{n}{\frac{x^{k}}{k!}}

J'ai donc pour l'instant réussi : la 1.2. et la 4.(a)

Et pour répondre à Sylvieg : J'ai effectivement utilisé le conseil de verdurin, en dérivant tout simplement ^^

Posté par
tanb56re : Dérivée n-ième 24-04-23 à 12:37

Et bien sur j'ai aussi trouvé l'expression de a_{n} en raisonnant en terme de suite arithmético géométrique, ce qui rejoint le résultat de elhor abdelali

Posté par
tanb56re : Dérivée n-ième 24-04-23 à 15:35

J'ai donc commencé la question 4.(b) :
On veut aboutir à :
f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}(e^{-x}-1)+(-1)^{n}n!e^{-x}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k!}\frac{1}{x^{n-k+1}}}

On applique Leibniz à la fonction f(x)=\frac{e^{-x}-1}{x} et g(x)=1/x
On a :
(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)
Mais aussi :
=(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)
=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\frac{(-1)^{k}(n-k)!}{x^{n-k+1}}\frac{P_{k}e^{-x}+a_{k}}{x^{k+1}}
Sauf qu'à partir de là, je ne sais pas si je sors le cas où k=0 car on souhaite une somme commençant à 1. Je vais quand même essayer en sortant aussi l'exponentielle, on a donc :
=\frac{(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}*\frac{e^{-x}-1}{x}+e^{-x}*\sum_{k=1}^{n}{\frac{(-1)^{n-k}(n-k)!}{x^{n-k+1}}\frac{P_{k}(x)+a_{k}}{x^{n+1}}}

J'ai donc fait apparaître des termes de la solution, mais je ne vois pas vraiment comment faire en sorte de se retrouver avec la somme demandée

Posté par
verdurinre : Dérivée n-ième 24-04-23 à 18:51

Bonsoir,
elhor_abdelali a utilisé la formule de Leibniz de façon très habile.

En étant moins habile, mais en suivant l'énoncé, on écrit f(x)=\frac1x \cdot (e^{-x}-1)=g(x)\cdot h(x) et on applique la formule de Leibniz à ce produit.
La question 4(a) donne les dérivées n-ième de g(x) et les dérivées n-ième de h(x) sont faciles à calculer.

Posté par
tanb56re : Dérivée n-ième 24-04-23 à 21:49

Je comprends mieux !
On peut conjecturer facilement que la dérivée n-ième de h(x)=exp(-x)-1 est : (-1)^{n+1}e^{-x}
De plus, avec 4.(a) : g^{(n)}=\frac{(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}

On applique donc Leibniz au produit des deux :
On a :
(hg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{k}{n}g^{n-k}h^{(k)}}
On remplace :
=\sum_{k=0}^{n}{\binom{k}{n}\frac{(-1)^{n-k}(n-k)!}{x^{n-k+1}}(-1)^{n-k+1}e^{-x}}
On sort k=0 :
==\frac{(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}*(-1)^{n+1}e^{-x}+\sum_{k=1}^{n}{\binom{k}{n}\frac{(-1)^{n-k}(n-k)!}{x^{n-k+1}}(-1)^{n-k+1}e^{-x}}

Mais encore une fois l'expression est moche et je n'arrive pas à la simplifier

Posté par
tanb56re : Dérivée n-ième 24-04-23 à 21:51

Oups... petite erreur de frappe : h^{(n)}(x)=(-1)^{n}e^{-x}

Posté par
tanb56re : Dérivée n-ième 24-04-23 à 22:02

Et je me suis aussi trompé dans la somme, décidément je suis fatigué ^^'
Je reprends :
On a :
\sum_{k=0}^{n}{g^{(n-k)}h^{k}}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}\frac{(-1)^{n-k}(n-k)!}{x^{n-k+1}}*(-1)^{k}e^{-x}}
=\frac{(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}*(e^{-x}-1)+\sum_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}\frac{(-1)^{n}(n-k)!}{x^{n-k+1}e^{x}}}
Désolé pour le désagrément..


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