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Dérivée n-ième et combinaison

Posté par
Skops 29-03-08 à 17:41

Bonjour

Calculer la dérivée n-ième de 4$x^n(1+x)^n
En déduire le calcul de 4$\bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)^2

J'ai essayé de trouver une formule à prouver par récurrence sans succès, avec Leibniz de même et j'ai (mais je vois pas comment continuer) transformer le (1+x)^n avec un sigma et des combinaisons

Une piste siouplé

Merci

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 17:54

Salut !

Une idée peut-être : \Large x^n(1+x)^n=x^n\Bigsum_{k=0}^nC_n^kx^k=\Bigsum_{k=0}^nC_n^kx^{n+k}

Utilise la linéarité de la fonction dérivée puis \Large (x^m)^{(k)}=A_m^kx^{m-k}

Posté par
Skopsre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 17:59

Salut

Tu entends quoi par linéarité de la dérivée ?

Skops

Posté par
Camélia Correcteurre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:02

Bonjour

Je ne me rappelle pas trop, mais il me semble qu'il y a une super-astuce qui consiste à écrire d'abord Bézout pour xn et (1+x)n. Vous êtes plus doués que moi pour faire de la recherche sur le site, alors peut-être que vous le retrouverez...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:02

la dérivée d'une somme c'est la somme des dérivées

\Large%20(x^n(1+x)^n)^{(n)}=\(\Bigsum_{k=0}^nC_n^kx^{n+k}\)^{(n)}=\Bigsum_{k=0}^nC_n^k(x^{n+k})^{(n)}

Posté par
Skopsre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:06

Salut Camélia

Ca veut dire quoi "écrire Bezout" ?
Je sais pas si on parle du même théorème ^^

4$(x^n(1+x)^n)^{(n)}=\bigsum_{0}^n\(n\\k\)(n+k)x^{n+k-1}

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:07

Camélia>> J'ai cherché mais j'ai pas vraiment trouvé sur le moteur de recherche de l'île je pense qu'ici même ça va marcher on aura \Latex C_n^kA_{n+k}^n et on peut peut-être arriver à \Large (C_n^k)^2 ... Enfin, je n'ai pas devant moi un stylo et du papier donc je n'ai pas terminé jusqu'au bout

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:08

Skops>> t'as dérivé une seule fois ... t'as une dérivée n-ième

Posté par
gui_toure : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:10

Bonjour à tous

Peut-être qu'il y a une piste à suivre ici : Proposition : Les khôlles sur l'île !

Posté par
Skopsre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:11

5$(x^n(1+x)^n)^{(n)}=\bigsum_{0}^n\(n\\k\)(n+k)!x^k

Bon ?

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:12

guitou>> dans ton on utilise la formule de Vandermonde, ici on utilise une autre méthode je pense

Posté par
rogerd Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:14

Bonsoir !

Il me semble qu'avec Leibniz, on ne doit pas être loin de la vérité ( on voit apparaître les carrés des coefficients binomiaux)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:15

Skops>> non toujours pas !

\Large%20(x^m)^{(k)}=A_m^kx^{m-k}

ici : \Large%20(x^{n+k})^{(n)}=A_{n+k}^nx^{k}

\Large A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}: les arrangements de k parmi n

Posté par
Skopsre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:23

Pourtant, sans écriture de sigma, j'aboutis à la même chose

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:29

j'ai pas bien compris ce que tu veux dire

est-tu arrivé à \Large%20(x^n(1+x)^n)^{(n)}=\Bigsum_{k=0}^nC_n^kA_{n+k}^nx^{k}=\Bigsum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\times \frac{(n+k)!}{k!}x^{k} et voilà finie la première question!

pour la deuxième:

On a: \Large (C_n^k)^2=\frac{(n!)^2}{(k!)^2((n-k)!)^2} essaie de bidouiller un peu dans la dérivée n-ième puis d'évaluer en un poinr

Posté par
rogerd Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:30

Il me semble que ça marche en écrivant la dérivée de deux façons:
D'abord en suivant l'idée de Monrow et ensuite en utilisant la formule de Leibniz.
Ensuite on identifie les termes de degré n.
A vérifier!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 18:49

Bon voilà j'ai enfin pris un stylo

Pour la première question:

\Large (x^n(1+x)^n)^{(n)}=\Bigsum_{k=0}^nC_n^k(x^n)^{(k)}((x+1)^n)^{(n-k)}=\Bigsum_{k=0}^nC_n^kA_n^kx^{n-k}A_n^{n-k}(x+1)^k=n!\Bigsum_{k=0}^n(C_n^k)^2x^{n-k}(x+1)^k

Pour la deuxième : on dérive n fois encore !

\Large (x^n(1+x)^n)^{(2n)}=n!\Bigsum_{k=0}^n(C_n^k)^2(x^{n-k}(x+1)^k)^{(n)}

Or: \Large x^{n-k}(x+1)^k est toujours un polynôme de degré n de coefficient dominant 1, donc sa dérivée n-ième est \Large n!

Ainsi : \Large (x^n(1+x)^n)^{(2n)}=(n!)^2\Bigsum_{k=0}^n(C_n^k)^2

d'autre part : \Large x^n(1+x)^n est un polynôme de degré 2n de coefficient dominant 1 sa dérivée 2n-ième est alors \Large (2n)! donc: \Large (x^n(1+x)^n)^{(2n)}=(2n)!

On peut conclure par identification que: \Large\blue \fbox{\Bigsum_{k=0}^n(C_n^k)^2=\frac{(2n)!}{(n!)^2}}

Posté par
Skopsre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 19:12

Merci

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Dérivée n-ième et combinaison 29-03-08 à 19:18

pas de quoi


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