Salut
Je considère V un espace de Hilbert et y de V dans V
J'aimerai calculer
J'ai commencé par écrire
Donc
C'est correct jusque là ?
Merci
passe par le carré comme tu as commencé et écris le sous la forme :
f(x+h)-f(x)=L(x) + o(||h||)
et la dérivée de la fct racine carrée
et tu composes
A mon avis non ce n'est pas correct.
Rapproche toi d'un produit scalaire de vecteurs il y a un cos qui intervient au niveau de la multiplication des modules....
Tu écris "J'aimerais calculer ||f(x)||' "
C'est incorrect: Tu "parles" de x sans le "présenter" ( ?
? ) et si tu te donnes x plus rien ne bouge !
Admettons que tu veuilles dire "J'aimerais calculer ||f(.)||'(x) pour tout x". Cette fois la faute est que tu supposes que l'application ||f(.)|| est dérivable partout . Est-ce bien sûr ?
Plus proprement:
On se donne (V,<.,.>) un Hilbert réel (N la norme asssociée), y V et on se demande si l'application gy : x
N(x-y) est dérivable et si oui s'il y a une expression agréable de gy'(x).
Pour y = 0 il s'agit de voir si N = g0 est dérivable.
Tu dois savoir que N n'est pas dérivable en 0 .
C'est facile à retrouver : Supposons qu'il existe linéaire de V dans
telle que R(t) =( N(t) -
(t))/N(t) tende vers 0 lorsque t tend vers 0 en resrant dans V \ {0} .
Soit x V \ {0} . R(
x) tend alors vers 0 quand
tend vers 0 en restant non nul.
Or pour > 0 R(
.x) = R(x) donc R(x) = 0 et N(x) =
(x) . Comme N(0) = 0 =
(0) on a N =
. Or N n'est pas linéaire.
Soit donc x V \ {0} .
La cuisine de N(x - s) - N(x) fait apparaitre <x,s>/N(x). On pose = <x,.>/N(x) et on montre que (N(x + s) - N(x) -
(s))/N(s) tend vers 0 en restant non nul dans V. N est donc dérivable au point x et N'(x) = <x,.>/N(x) .
Pour les gy où y 0 , à toi !
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