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Niveau Licence Maths 1e ann
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dérivée norme

Posté par
zamot
13-12-09 à 14:42

Salut

Je considère V un espace de Hilbert et f : x->x-y de V dans V

J'aimerai calculer ||f(x)||'

J'ai commencé par écrire ||f(x)||^2=(f(x),f(x))

Donc 2||f(x)||||f(x)||'=2(f'(x),f(x))

C'est correct jusque là ?

Merci

Posté par
mathm
re : dérivée norme 13-12-09 à 18:24

passe par le carré comme tu as commencé et écris le sous la forme :
f(x+h)-f(x)=L(x) + o(||h||)
et la dérivée de la fct racine carrée

et tu composes

Posté par
bamboum
re : dérivée norme 16-12-09 à 01:41

A mon avis non ce n'est pas correct.
Rapproche toi d'un produit scalaire de vecteurs il y a un cos qui intervient au niveau de la multiplication des modules....

Posté par
comaths
re : dérivée norme 16-12-09 à 07:09

La dérivée de ta norme est exacte .

Posté par
kybjm
re : dérivée norme 16-12-09 à 11:19

Tu écris  "J'aimerais calculer ||f(x)||' "
  C'est incorrect: Tu "parles" de x sans le "présenter" ( ? ? ) et si tu te donnes x plus rien ne bouge  !
Admettons que tu veuilles dire "J'aimerais calculer ||f(.)||'(x) pour tout x". Cette fois la faute est que tu supposes que l'application ||f(.)|| est dérivable partout . Est-ce bien sûr ?
          
Plus proprement:

  On se donne (V,<.,.>) un Hilbert réel (N la norme asssociée), y V et on se demande si l'application gy : x N(x-y) est dérivable et si oui s'il y a une expression agréable de gy'(x).

Pour y = 0 il s'agit de voir si N = g0 est dérivable.

Tu dois savoir que N n'est pas dérivable en 0 .
    C'est facile à retrouver : Supposons qu'il existe linéaire de V dans telle que R(t) =( N(t) - (t))/N(t) tende vers 0 lorsque t tend vers 0 en resrant dans V \ {0} .
Soit x V \ {0} . R(x) tend alors vers 0 quand tend vers 0 en restant non nul.
Or pour > 0 R(.x) = R(x) donc R(x) = 0 et N(x) = (x) . Comme N(0) = 0 = (0) on a N = . Or N n'est pas linéaire.

Soit donc x V \ {0} .
La cuisine de N(x - s) - N(x) fait apparaitre <x,s>/N(x). On pose = <x,.>/N(x) et on montre que (N(x + s) - N(x) - (s))/N(s) tend vers 0 en restant non nul dans V. N est donc dérivable au point x et N'(x) =  <x,.>/N(x) .


Pour les gy où y 0 , à toi !








  



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