aidez moi svp!

Bonjour,

dg/dx(x,y) = df(u(x,y))°(du/dx(x,y)) = df(y,x)°(0,dx) = df/dy(y,x)dx

pourrais-tu m'expliquer STP ?

On est bien d'accord que du/dx(x,y).h = (dy/dx.h,dx/dx.h) = (0,h) donc du/dx(x,y)= (0,dx)

d'autre part df(x,y)(h,k) = df/dx .h + df/dy .k

d'où df(u(x,y))°du/dx(x,y)= df/dx(u(x,y))°0 + df/dy(u(x,y))°dx=df/dy(u(x,y))°dx

d'ou vient le h dans du/dx(x,y).h ?

Si u va de ExF--->G, ton application partielle du/dx va de E---->G. J'ai calculé l'image de h par l'application linéaire du/dx (x,y) pour voir ce ça donnait.

dans le cours il y a écrit : une application partielle vérifie : u1(t) = u(t,x2), je ne vois pas pourquoi elle prend un paramètre t, et u en prend 2 ?

Parceque une application partielle n'est qu'à une seule variable : Calculer du/dx(a,b) c'est tout simplement calculer la différentielle (au point a) de la fonction  phi : x-----> u(x,b)
Autrement dit, c'est calculer phi'(a)

bon prenons un cas plus général :
u : (x,y) -> (a,b)
donc u1(x) = a et u2(y) = b?

a et b sont des fonctions ??(où est la dépendance par rapport aux variables (x,y) ?

disons qu'elles dépendent de (x,y)
donc ais-je raison dans ce que j'ai dit ?

et bien non car l'espace d'arrivée de u1 et u2 est encore R^2

Si je veux calculer u1(x0,y0) je vais calculer la différentielle en x0 de la fonction :

x---->u(x,y0) soit différentier x----> (a(x,y0) , b(x,y0))

ce qui donne u1(x0,y0) = (a1(x0,y0) , b1(x0,y0))

Exemple :

soit u(x,y) = (3x+5y , xy)

je veux calculer u1(x0,y0) je dérive donc en x0 la fonction x----->(3x+5y0 ,xy0)

ce qui donne  u1(x0,y0) = (3,y0)

et donc si j'avais la fonction x----->(3x+5y0 ,x²y0)
j'aurais en dérivant u par rapport en x0 :
du/dx (x0,y0) = (3, 2x0y0), c'est bien cela ?

Oui on est d'accord.

mais si je cherche la fonction partielle Up1, elle est bien égale à 3x+5y ?

fonction partielle ? Qu'est-ce donc ?

application partielle pardon !
on définit Up1(t) = U(t,x2), vois-tu de quoi je parle ?

mais une fonction partielle a son image dans R^2 si la fonction totale a sonimage dans R^2.

Ce qui change ce n'est pas l'ensemble de départ mais d'arrivée.

Ainsi avec ton exemple(x----->(3x+5y0 ,x²y0)) et tes notations : up1(t) = (3t+5x2, t^2x2)

Errata : ''ce n'est pas l'ensemble de départ mais d'arrivée.'' lire ''ce n'est pas l'ensemble d'arrivée mais de départ.''

que vaudrait alors Up2 ?

si tu regardes au point (x1,x2), ta fonction partielle est définie au voisinage de x2 par :
up2(t) = (3x1+5t, (x1^2)t)

d'accord maintenant j'ai compris les choses de bases merci bluberry. Je crois qu'on peut revenir à notre problème de départ, qui est de déterminer les dérivées partielles de  : g = fou
donc comment faire pour dériver cette quantité ?

Bon de retour voila ce que cela donnes :

Calculons dg/dx(x0,y0) .

Je dérive suivant x la fonction phi : x -------> f(y0,x)
Ensuite  phi'(x0) = dg/dx(x0,y0)

On dérive déjà x----->(y0,x) ce qui donne (0,1) puis on prend df(y0,x).(0,1) ce qui donne
phi'(x) = df/dx(y0,x).0 + df/dy(y0,x).1 = df/dy(y0,x). Donc phi'(x0)= df/dy(y0,x0).

Voila dg/dx(x0,y0)= df/dy(y0,x0)