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Dérivée partielle

Posté par Profil Ramanujan 16-06-18 à 16:05

Bonjour,

Soit g(y_1,y_2,\phi)=f(x_1+y_1 cos(\phi)-y_2 sin(\phi) , x_2+y_1 sin(\phi)+y_2 cos(\phi))

Je bloque sur le calcul de la dérivée partielle suivante :

\frac{\partial g}{\partial y_1} (y_1,y_2,\phi)=

Je sais pas quelle formule de dérivée utiliser.

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle 16-06-18 à 17:15

Bonjour
f dépend de deux variables, mettons x et y :

\dfrac{\partial g}{\partial y_1} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial y_1}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial y_1}

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée partielle 16-06-18 à 19:03

J'ai pas compris

Mon x est fixé et j'ai 3 variables.

Posté par
lionel52re : Dérivée partielle 16-06-18 à 19:40

f est une fonction de 2 variables

Par exemple si f(u,v) = cos(u) + sin(v)
g(y1,y2,p) ta fonction

dg/dy1 = df/du * du/dy1   + df/dv * dv/dy1

df/du = -sin(u) = -sin(x1 + y1.cos(p) - y2.sin(p))
du/y1 = cos(p)
etc.

Posté par
Nyadisre : Dérivée partielle 16-06-18 à 20:33

Bonjour lafol

Mais sur ton expression la c'est comme ci tu derivais 2 fois par rapport à Y1

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée partielle 16-06-18 à 20:47

lionel je n'arrive pas à appliquer ta formule à mon exemple.

Posté par
carpediemre : Dérivée partielle 16-06-18 à 20:56

on ne peut guère avancer quand on traite autant d'exercices différents sur autant de domaines différents ...

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle 16-06-18 à 21:00

Nyadis @ 16-06-2018 à 20:33

Bonjour lafol

Mais sur ton expression la c'est comme ci tu derivais 2 fois par rapport à Y1


où tu as vu ça ?
comment veux-tu faire cet exercice si tu n'as pas encore vu le cours sur les dérivées composées? règle de la chaîne, ça te dit quelque chose ?

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée partielle 16-06-18 à 21:27

carpediem @ 16-06-2018 à 20:56

on ne peut guère avancer quand on traite autant d'exercices différents sur autant de domaines différents ...


Oui je sais mais là je voulais finir un problème que j'ai commencé depuis longtemps.

Je sais que c'est pas difficile mais j'y arrive pas à faire la dérivée.

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle 16-06-18 à 21:33

lafol @ 16-06-2018 à 17:15

Bonjour
f dépend de deux variables, mettons x et y :

\dfrac{\partial g}{\partial y_1} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial y_1}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial y_1}


je note x et y les variables dont dépend f ! si on t'a donné f(x,y) = blabla, par exemple.

si on t'a donné f(u,v) = blabla, et bien remplaces mes x par des u et mes y par des v !

et x n'a rien à voir avec x_1 ou x_2, de même que y n'a rien à voir avec y_1 ou y_2.


g(y_1,y_2,\phi)=f(x_1+y_1 \cos(\phi)-y_2 \sin(\phi) , x_2+y_1 \sin(\phi)+y_2 \cos(\phi))

on y lit que \dfrac{\partial x}{\partial y_1} = \cos(\phi) et \dfrac{\partial y}{\partial y_1} =\sin(\phi)

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée partielle 16-06-18 à 21:37

lafol @ 16-06-2018 à 17:15

Bonjour
f dépend de deux variables, mettons x et y :

\dfrac{\partial g}{\partial y_1} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial y_1}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial y_1}


L'énoncé dit y_2 est fixé dans \R.

Votre formule marche pas ici non ? Y a une composée en plus

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée partielle 16-06-18 à 21:42

lafol @ 16-06-2018 à 21:33

lafol @ 16-06-2018 à 17:15

Bonjour
f dépend de deux variables, mettons x et y :

\dfrac{\partial g}{\partial y_1} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial y_1}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial y_1}


je note x et y les variables dont dépend f ! si on t'a donné f(x,y) = blabla, par exemple.

si on t'a donné f(u,v) = blabla, et bien remplaces mes x par des u et mes y par des v !

et x n'a rien à voir avec x_1 ou x_2, de même que y n'a rien à voir avec y_1 ou y_2.


g(y_1,y_2,\phi)=f(x_1+y_1 \cos(\phi)-y_2 \sin(\phi) , x_2+y_1 \sin(\phi)+y_2 \cos(\phi))

on y lit que \dfrac{\partial x}{\partial y_1} = \cos(\phi) et \dfrac{\partial y}{\partial y_1} =\sin(\phi)


Que valent ?

\dfrac{\partial f}{\partial x} et \dfrac{\partial f}{\partial y}

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle 16-06-18 à 21:44

f dépend de deux variables, oui ou non ? ce que fait y_2, à la limite on s'en tape, pour le calcul que tu cherches à faire !
même si g ne dépendait que de y_1, ma relation resterait valable, quitte à remplacer tous les \dfrac{\partial\cdots}{\partial y_1} par des \dfrac{d \cdots}{dy_1}

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle 16-06-18 à 21:45

Citation :
Que valent ?

\dfrac{\partial f}{\partial x} et \dfrac{\partial f}{\partial y}


tu es sérieux, là ? tu crois qu'on a une boule de cristal pour deviner ton énoncé ? Comment on devine ce que représente f, nous ?

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée partielle 16-06-18 à 21:53

FAUT juste exprimer la dérivée partielle pas la calculer donc j'ai

\frac{\partial g}{\partial y_1} (y_1,y_2,\phi)= cos(\phi)\dfrac{\partial f}{\partial x} + sin(\phi) \dfrac{\partial f}{\partial y}

Je trouve ça bizarre comme résultat

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée partielle 16-06-18 à 22:04

J'ai trouvé un corrigé qui donne :

\frac{\partial g}{\partial y_1} (y_1,y_2,\phi)= cos(\phi)\dfrac{\partial f}{\partial x_1} (x_1+y_1 cos(\phi)-y_2 sin(\phi) , x_2+y_1 sin(\phi)+y_2 cos(\phi))+ sin(\phi) \dfrac{\partial f}{\partial x_2} (x_1+y_1 cos(\phi)-y_2 sin(\phi) , x_2+y_1 sin(\phi)+y_2 cos(\phi))

Je comprends pas comment on obtient ça.

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle 16-06-18 à 22:12

c'est juste qu'ils notent x_1 et x_2 les deux variables de f
c'est très malhabile, vu que x_1 et x_2 servent déjà à désigner autre chose

\dfrac{\partial f}{\partial x_i} doit être compris comme "dérivée partielle de f par rapport à sa i^{\`{e}me} variable", c'est tout

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle 16-06-18 à 22:13

c'est exactement ce que tu avais écrit à 21h53, en précisant où on calcule les dérivées partielles de f

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée partielle 16-06-18 à 23:15

D'accord mais que valent x et y quand j'écris ?

\frac{\partial g}{\partial y_1} (y_1,y_2,\phi)= cos(\phi)\dfrac{\partial f}{\partial x} + sin(\phi) \dfrac{\partial f}{\partial y}

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle 16-06-18 à 23:34

ils ne "valent" rien ! ils désignent la première et la seconde variable de la fonction f

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée partielle 17-06-18 à 00:27

Du coup, comme :

x=x_1+y_1 cos(\phi)-y_2 sin(\phi)

Alors : \frac{\partial g}{\partial x}= \frac{\partial g}{\partial (x_1+y_1 cos(\phi)-y_2 sin(\phi))}

C'est impossible à calculer ça si on a f

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée partielle 17-06-18 à 00:51

Je crois avoir compris :

Soit f(x,y)
g(x,y)=(x_1+y_1cos(\phi)-y_2 sin(\phi),x_2+y_1 sin(\phi)+y_2 cos(\phi))

Soit : h(x,y)=f o g (x,y)=f(g_1,g_2)=f(x_1+y_1cos(\phi)-y_2 sin(\phi),x_2+y_1 sin(\phi)+y_2 cos(\phi)))

DU coup : \dfrac{\partial g}{\partial x_1} = \dfrac{\partial f}{\partial g_1}\dfrac{\partial g_1}{\partial x_1}+\dfrac{\partial f}{\partial g_2}\dfrac{\partial g_2}{\partial x_1}

C'est plus rigoureux comme ça ?


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