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Dérivée partielle de Arcsin

Posté par
HighSchool2005 31-01-07 à 13:45

Bonjour,

Voici ma fonction :
g : (x,y) -> Arcsin ( (x2 - y2)/(x2 + y2)

Je dois calculer la dérivée partielle dg/dx et dg/dy en (x0,y0)
J'ai déjà traité les cas principaux. Mon problème est pour dg/dx lorsque x0=0 et dg/dy lorsque y0=0
Pour dg/dx :
Lorsque x0= 0,
Si on considère la fonction g1 : x -> g(x,y0)
g1(0) = Arcsin (-1) = - Pi / 2
Déjà, je ne comprends par pourquoi il y a un problème à cet endroit, alors que pour y0=0 et x différent de 0, g1(x)= Pi/2 et la dérivée est nulle. Alors, je pense, sans en être sûre et j'aimerais en avoir confirmation, que dans le cas où x=0, dg/dx que j'ai calculé précédemment, n'est pas définie. Donc il faudrait prouver qu'elle existe grâce à la limite.

Par symétrie de la fonction, tout ce qui est fait pour dg/dx, on le retrouve avec dg/dy

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 14:18

Attention, ce n'est pas parce que g_1 est dérivable en x_0 que g est différentiable en (x_0,y0)...

En outre, pour applique le théorème de différentiabilité d'une fonction composée, il faut utiliser des ouverts sur lesquels les fonctions sont différentiables. Pour \text{Arcsin}, on peut (doit ?) par exemple utiliser ]-1,1[.

Posté par
HighSchool2005re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 14:34

Alors en résumé, d'après ce que tu me dis, avant de faire quoique ce soit, je dois regarder sur quel intervalle ouvert g est différentiable (ce qui implique que la dérivée existe)

D'après l'intervalle ]-1,1[, j'obtiens que 0 < y0 et 0 < x0 (avec ma fonction un peu compliquée)
On considère donc l'ensemble de définition R2 sans (0,0) mais cela n'empêche pas que y0 OU x0 soit nul. Ce qui est mon problème.


"En outre, pour applique le théorème de différentiabilité d'une fonction composée, il faut utiliser des ouverts sur lesquels les fonctions sont différentiables. Pour , on peut (doit ?) par exemple utiliser ."
Y aurait-il un autre ouvert possible ?

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 14:43

Citation :
Alors en résumé, d'après ce que tu me dis, avant de faire quoique ce soit, je dois regarder sur quel intervalle ouvert g est différentiable (ce qui implique que la dérivée existe)


Il est bon de chercher un ouvert de \mathbb{R}^2 sur lequel ton théorème s'applique, oui.

Citation :

D'après l'intervalle ]-1,1[, j'obtiens que 0 < y0 et 0 < x0 (avec ma fonction un peu compliquée)
On considère donc l'ensemble de définition R2 sans (0,0) mais cela n'empêche pas que y0 OU x0 soit nul. Ce qui est mon problème.


J'ai des problèmes avec ton "d'après" et (surtout) ton "donc", dans ces phrases...

Citation :
Y aurait-il un autre ouvert possible ?


Je ne saurais trop te conseiller de regarder le plan privé des axes, dans un premier temps, pour appliquer ton théorème, après avoir justifié que tu peux le faire.
Ensuite, sur les axes (y compris en (0,0)), il faudra travailler "à la main".

Posté par
HighSchool2005re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 15:09

En fait, peut-être me suis-je mal exprimée :
dans ton précédent message, tu me conseilles, pour la fonction Arcsin X, de prendre X dans ]-1,1[ et dans mon cas, X = (x2 - y2)/(x2 + y2)
ce qui revient à prendre x > 0 et y > 0 pour que ma fonction soit différentiable.

J'ai la correction de cet exercice et on traîte bien les cas où x = 0 ou y = 0 à part, à la main, en utilisant:
lim (g(h) - g(0)) / h   avec h -> 0
(je pose toujours une fonction g1 ou g2 qui prend pour argument seulement x ou seulement y suivant la dérivée partielle que je veux calculer)

Si j'ai bien compris, les cas x= 0 ou y = 0 posent problème à cause de la fonction Arcsin et le fait qu'on doit travailler sur un ouvert : c'est ça ?

Alors, je vais poser ma question "dans l'autre sens":
si on pose g1 : x -> g(x,y0)
Dans mon corrigé, j'ai:
si y0=0 alors g1(x) = Pi / 2 et là, ça ne pose pas de problème, il en découle (toujours d'après mon corrigé) que g1'(x) = 0

J'espère que je suis clair. Il y a comme une contradiction pour moi dans ce corrigé. D'un côté, g1(0) = - Pi / 2, ça pose un problème pour calculer la dérivée et de l'autre g1(x) = Pi/2 si y0= 0 , ça n'en pose pas.

Merci

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 15:29

Citation :
dans ton précédent message, tu me conseilles, pour la fonction Arcsin X, de prendre X dans ]-1,1[ et dans mon cas, X = (x2 - y2)/(x2 + y2)
ce qui revient à prendre x > 0 et y > 0 pour que ma fonction soit différentiable.


Non. Cela revient à prendre (x,y) en dehors des axes, il me semble.

Citation :
Alors, je vais poser ma question "dans l'autre sens":
si on pose g1 : x -> g(x,y0)
Dans mon corrigé, j'ai:
si y0=0 alors g1(x) = Pi / 2 et là, ça ne pose pas de problème, il en découle (toujours d'après mon corrigé) que g1'(x) = 0


C'est tout-à-fait juste, il me semble.

Pour le reste, je ne comprends pas bien ce qui te pose problème; peux-tu citer le corrigé et dire ce qui te semble contradictoire ?

En gros, pour les points restants "à la main" (ie : sur les axes) :

- à l'origine, g n'est pas définie.

- sur chaque demi-axe:

-- si x=0, alors dg/dy existe (et est nul), alors que dg/dx n'est pas défini (à vérifier).

-- si y=0, alors dg/dx existe (et est nul), alors que dg/dy n'est pas défini (à vérifier aussi).

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 15:39

Bonjour,
je ne vois pas pourquoi tu arrives à des conditions de signe sur x et y alors qu'ils sont au carré dans l'expression de la fonction : leur signe n'a aucune importance. L'ensemble de définition est défini par -x^2-y^2\leq x^2-y^2\leq x^2+y^2 ce qui est toujours vrai. pour dériver sans problème, il faut des inégalités strictes, c'est-à-dire x et y non nuls.

Pour calculer des dérivées partielles par rapport à x, tu fixes y : OK. Je vais carrément l'appeler k.
f_k(x)=f(x,k)=\rm{Arcsin}\(\frac{x^2-k^2}{x^2+k^2}\)
Si k=0, cette fonction est constante et vaut \rm{Arcsin}(1)=\frac{\pi}{2}, sa dérivée est nulle.
Si k non nul, tu sais dériver cette fonction , quitte à passer par la limite du taux d'accroissement quand x=0)

Pour calculer des dérivées partielles par rapport à y, tu fixes x. Je vais encore l'appeler k.
g_k(y)=f(k,y)=\rm{Arcsin}\(\frac{k^2-y^2}{k^2+y^2}\)
Si k=0, cette fonction est constante et vaut \rm{Arcsin}(-1)=\frac{-\pi}{2}, sa dérivée est nulle.
Si k non nul, tu dérives comme à une variable.

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 15:45

Quand j'ai dis "tu sais dériver", je pensais "tu sais étudier la dérivabilité"

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 15:49

Citation :
je ne vois pas pourquoi tu arrives à des conditions de signe sur x et y alors qu'ils sont au carré dans l'expression de la fonction : leur signe n'a aucune importance. L'ensemble de définition est défini par  ce qui est toujours vrai. pour dériver sans problème, il faut des inégalités strictes, c'est-à-dire x et y non nuls.


En quoi "x et y non nuls" est-il différent pour toi de "(x,y) en dehors des axes" ?

Pour le reste, on est tout-à-fait d'accord, il me semble, non ?
Je ne vois pas en quoi ce que tu as écrit contredit ce que je t'ai suggéré...

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 15:50

C'est juste que le temps que je rédige ma réponse, la tienne a été postée : je ne l'avais pas encore lue !

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 15:51

Bien sûr, lafol, comme tu le fais remarquer, on peut se ramener par symétries (à préciser) à x \leq 0 et y \leq 0 avec (x,y)\neq (0,0).

Je veux dire : ce que je suggères à HighSchool 2005 n'est en rien contradictoire avec ce que tu dis, hein, lafol ?

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 15:51

OK, lafol.

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 15:55

je m'adressais à Highschool, j'aurais du le préciser...
Comme il(elle) avait l'air d'insister sur x>0 et y>0, je lui ai un peu détaillé la recherche du domaine de définition (le plan tout entier), et de l'ensemble sur lequel on peut utiliser les dérivées composées sans souci (tout sauf x ou y =0, ce qui revient bien à tout sauf les axes)

Posté par
HighSchool2005re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 16:19

Bonjour,

grâce au détail de Lafol, je vais pouvoir pointer mon problème très précisement car dans vos discussions, je comprends toujours pas et j'en suis vraiment désolée...

Citation :
Pour calculer des dérivées partielles par rapport à x, tu fixes y : OK. Je vais carrément l'appeler k.

Si k=0, cette fonction est constante et vaut , sa dérivée est nulle.
Si k non nul, tu sais dériver cette fonction , quitte à passer par la limite du taux d'accroissement quand x=0)


Pourquoi doit-on passer par la limite du taux d'accroissement quand x = 0 ?

Citation :

Pour calculer des dérivées partielles par rapport à y, tu fixes x. Je vais encore l'appeler k.

Si k=0, cette fonction est constante et vaut , sa dérivée est nulle.
Si k non nul, tu dérives comme à une variable.


Que veux-tu dire par "dérives comme une variable" ?
Le cas "k non nul par rapport à y" n'est pas le même que "k non nul par rapport à x" ?

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 16:23

Pour y fixé non nul, en x=0 on a (-1) dans l'arcsin, or arcsin n'est dérivable que sur ]-1;1[. on ne peut donc pas utiliser la dérivée de la composée

Ce que je veux dire par "comme à une variable", c'est que fk et gk sont des fonctions d'une variable : tu sais ce que signifie leur dérivabilité depuis la classe de première

Posté par
HighSchool2005re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 16:31

Dérivée partielle par rapport à x (y fixé)

Citation :
Pour y fixé non nul, en x=0 on a (-1) dans l'arcsin, or arcsin n'est dérivable que sur ]-1;1[. on ne peut donc pas utiliser la dérivée de la composée


Tout à fait d'accord, mais alors pourquoi lorsque y = 0, on dit sans problème que 1 est dans l'arcsin et cela fait Pi /2 ?

Dérivée partielle par rapport à y (x fixé)

Pour "comme à une variable" : OK
Pour la dérivée partielle en y, il faut aussi utiliser la limite du taux d'accroissement quand y = 0, je pense puisque arcsin n'est pas défini en 1 ?

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 16:36

Citation :
Pourquoi doit-on passer par la limite du taux d'accroissement quand x = 0 ?


Lafol ne dit pas que l'on doit le faire, mais qu'il suffit de le faire.
En outre, le théorème de différentiabilité d'une composée "standart" ne s'applique pas à cet endroit.

Citation :
Que veux-tu dire par "dérives comme une variable" ?

Lafol veut dire que tu considères k comme fixé et applique le théorème de dérivabilité (à une variable) avec la seule variable y.

Citation :
Le cas "k non nul par rapport à y" n'est pas le même que "k non nul par rapport à x" ?


Par symétrie, on peut s'y ramener pour cette fonction, mais je te conseille plutôt de le détailler pour bien comprendre, au moins sur ton exemple.

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 16:39

Citation :
Tout à fait d'accord, mais alors pourquoi lorsque y = 0, on dit sans problème que 1 est dans l'arcsin et cela fait Pi /2 ?


Citation :
Pour la dérivée partielle en y, il faut aussi utiliser la limite du taux d'accroissement quand y = 0, je pense puisque arcsin n'est pas défini en 1 ?


HighSchool2005, je pense que tu confonds définition et différentiabilité pour Arcsin dans ces deux exemples.

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 16:39

Citation :
pourquoi lorsque y = 0, on dit sans problème que 1 est dans l'arcsin et cela fait Pi /2 ?

Parce que ça se fait AVANT de chercher à dériver :
\forall x \neq 0,\quad f_0(x)=f(x,0)=\rm{Arcsin}\(\frac{x^2}{x^2}\)=\rm{Arcsin}(1)=\frac{\pi}{2}
f_0 est constante donc de dérivée nulle (sauf en 0 où elle n'est pas définie)
(d'ailleurs j'ai dit une bêtise tout à l'heure : la fonction de départ n'est définie que si le dénominateur de la fraction est non nul, c'est-à-dire partout sauf en (0,0))

Posté par
HighSchool2005re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 17:04

Lafol c'est tout à fait ce que je ne comprenais pas

Pourriez-vous me confirmer que Arcsin est défini sur R mais différentiable sur ]-1,1[   ?
C'est pourquoi, si x = 0, on doit ou peut utiliser la limite du taux d'accroissement car on se retrouve avec un -1 dans l'arcsin et ce n'est pas différentiable. Alors, avec le taux d'accroissement, on prouve que c'est dérivable et on a même une valeur pour la dérivée.

(différentiable entraîne dérivable mais dérivable n'entraîne pas différentiable...?)

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 17:24

Pour une fonction d'une seule variable, différentiable = dérivable
(la différentielle de f en a étant l'application linéaire qui à h associe f'(a).h)

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 17:25

Arcsin est défini sur [-1;1] (pas sur IR !) et dérivable sur ]-1;1[

Posté par
HighSchool2005re : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 17:30

merci à tous les deux pour votre aide précieuse

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée partielle de Arcsin 31-01-07 à 17:50

Heureuse d'avoir pu t'aider !


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