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Niveau Maths sup
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Dérivée seconde bornée

Posté par
sadori95
15-06-11 à 14:15

Bonjour à tous.
J'ai un problème d'analyse.
J'ai une fonction f
tel que f''(x) soit bornée
et je doit montrer que f est définie sur R
existe_il un théorème qui montre qu'une fonction dont la dérivée seconde est bornée alors
elle est définie sur R ?

Posté par
Bachstelze
re : Dérivée seconde bornée 15-06-11 à 14:23

Salut

Juste une piste sans certitude, mais je pense qu'en raisonnant par contraposée ça devrait marcher. Suppose une fonction qui n'est pas définie sur R entier, et regarde ce qui se passe pour la dérivée seconde aux bornes de son ensemble de définition. Je parie deux carambars qu'elle a forcément une limite infinie, ce qui implique qu'elle n'est pas bornée.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Dérivée seconde bornée 15-06-11 à 14:25

Bonjour,

Que penses tu de la fonction f définie sur \R\setminus\{0\} par f(x)=0 pour x<0 et f(x)=1 pour x>0 ?

Posté par
sadori95
re : Dérivée seconde bornée 15-06-11 à 14:27

Ma fonction f est continue

Posté par
Camélia Correcteur
re : Dérivée seconde bornée 15-06-11 à 14:31

Bonjour

Je ne comprends pas cet énoncé! A priori, ou est définie la fonction f? ou est-elle deux fois dérivable? Ou est bornée f''? Tel quel ça n'a aucun sens!

Posté par
sadori95
re : Dérivée seconde bornée 15-06-11 à 14:36

C'est un probleme de physiques.
J'ai l'équation différentielle
Y''(t) = 1/sqrt(r² + y(t)²)
avec r = cste 0
et on sait qu'on ne peut pas intégrer, mais on cherche des renseignements sur la fonction.
On sait que si y(t) positif alors y convexe
et si y(t) négatif, y concave
De plus par des considérations physiques, ( y(t) est la trajectoire d'un solide)
y est continue.
Est elle définie sur tout .
Pardon pour l'imprécision!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Dérivée seconde bornée 15-06-11 à 14:57

Ah bon! Il s'agit de montrer qu'une solution maximale de cette équation est définie sur R... Il faut regarder de près... Une raison fréquente qui oblige une solution à s'arrêter est le fait qu'elle tend vers l'infini pour une valeur finie. Si ça arrivait à ton y(t) alors y''(t) tendrait vers 0. Esy-ce un problème? De toute façon je ne suis vraiment pas spécialiste de la question!

Posté par
GaBuZoMeu
re : Dérivée seconde bornée 15-06-11 à 15:26

Citation :
On sait que si y(t) positif alors y convexe et si y(t) négatif, y concave

y" n'est-il pas toujours positif ?

Si r>0, on a toujours 0\leq y''\leq 1/r. Une solution avec condition initiale y(0)=y_0 et y'(0) = y'_0 vérifie |y'(t)-y'_0| \leq |t|/r, et on a ensuite une majoration de |y(t)-y_0| en t^2, qui reste finie pour t fini.



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