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Dérivée sur un déterminant

Posté par
H_aldnoer 09-11-09 à 23:44

Bonsoir,

on me demande de prouver que \Large \det(I_n+uM) = 1+u\tr(M)+O(u^2) pour \Large u dans un voisinage de 0 et \Large M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

En notant \Large f(u)=\det(I_n+uM) je sais que \Large f est un polynôme en \Large u et donc que, via un \Large DL_1(0), \Large f(u)=f(0)+f'(0)u+o(u).

J'ai immédiatement que \Large f(0)=1. Par contre, je n'arrive pas à exprimer \Large f'(u).

Help!
Merci.

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:09

Bonsoir,

Comme tu sais que det est de classe C infinie, immédiatement tu as 3$ d et(I_n+A)=d et(I)+\ell(A)+o(||A||) ou est 3$ \ell une application linéaire.

Que vaut alors 3$ de t(I_n +tE_{ij}) ?

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:14

Bonsoir.
Tu utilises quel résultat en fait pour ta première égalité ?

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:20

Et bien, une fonction f est différentiable en un point a ssi elle admet un Dl1 en a.

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:25

ici, f=det et a=In ( désolé j'ai mal choisi mes lettres ( a et A ) pour la clarté du truc... )

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:26

Ah oui, la différentiabilité! Comme c'est niveau capes, ce n'est à priori pas autorisé! Mais bon, poursuivons!

Ce que tu notes \Large E_{ij} je présume que ce sont les vecteurs de la base canonique de \Large\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ?

Si oui, je dirais que \Large \det(I_n +tE_{ij}) = 1+t si \Large i\neq j et 1 sinon.

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:28

Non ce n'est pas si ij !

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:32

Oups, j'ai inversé ! \Large\det(I_n%20+tE_{ij})=\{1+t\,si\,i=j\\1\,sinon.

Après j'écris \Large M = \Bigsum_{1\le i,j\le n} m_{ij}E_{ij} je suppose. Et donc on se retrouve avec le calcul de \Large \det(I_n+t\Bigsum_{1\le i,j\le n} E_{ij} ) ?

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:36

Oui c'est l'idée, si tu trouves 3$ \ell(E_{ij}) pour tout i,j, c'est fini à cause de la linéarité de 3$ \ell.

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:37

et 3$ \ell(E_{ij}) est très simple à determiner via le Dl1 de det en In.

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:38

J'étais en train de chercher justement! Mais comment le trouver sans aucune autre information sur \Large\ell ?

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:44

En fait, j'y pense, le déterminant est \Large n-linéaire non ?

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:45

Citation :
Mais comment le trouver sans aucune autre information sur \Large\ell ?

Grace à la différentiabilité 3$ d et(I_n+A)=d et(I)+\ell(A)+o(||A||)

Citation :
le déterminant est \Large n-linéaire non ?

Oui, c'est une forme n linéaire alternée.

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:52

Comme \Large\det(I_n+A)=\det(I_n)+\ell(A)+o(||A||), on a en particulier \Large\det(I_n+E_{ij})=\det(I_n)+\ell(E_{ij})+o(||E_{ij}||).

Si \Large i=j, alors on obtient \Large 2=1+\ell(E_{ij})+o(1) et sinon \Large 1=1+\ell(E_{ij})+o(1).

Donc finalement j'ai \Large \ell(E_{ij})=\{1+o(1)\\o(1) mais je ne suis pas très convaincu!

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:54

Non, cette égalité n'est possible que pour toute matrice A qui tend vers 0. C'est pour ca que j'avais introduit le 't'.

Ensuite que veut dire être un petit o(1) ?

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 00:57

Désolé Narhm, j'ai de trop mauvais souvenir de la différentiabilité! Ne peut-on pas passer sur un calcul de dérivée "plus simple" ?

Pour moi, \Large f = o(1) au voisinage de \Large a si \Large\lim_{x\to a} f(x)=1

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 01:13

Si bien sur mais ca revient vraiment au même.

Alors, revenons un peu en arrière. Soit M une matrice fixé de Mn(R)
Soit F la fonction de R dans R, F(u)=det(In+uM).
F est de classe C infinie en 0 comme tu l'as dit, donc F possède le développement limité en 0 : F(u)=F(0)+uF'(0)+o(u).

Il faut donc calculer F'(0).
Ici, le soucis c'est qu'on est obligé de calculer la différentielle du déterminant en 1, ou il faut connaitre la dérivée/différentielle de l'application det.

Là tout de suite, je vois pas vraiment comment éviter ce passage.

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 01:48

Histoire de remettre tout ca au clair :

Citation :
Comme \Large\det(I_n+A)=\det(I_n)+\ell(A)+o(||A||), on a en particulier \Large\det(I_n+E_{ij})=\det(I_n)+\ell(E_{ij})+o(||E_{ij}||).


La premiere égalité n'est vrai que pour toute matrice qui est proche de 0, ie ||A|| tend vers 0.
Ta deuxieme égalité n'a donc pas de sens, on est au voisinage de rien du tout, aucun élément de "bouge".

Par contre si on regarde det(In+tEij), on a mieux : quand t tend vers 0 tEij tend vers 0 donc d'apres la premiere égalité établie :

det(In+tEij)=1+l(tEij)+o(tEij)=1+tl(Eij)+o(t) au voisinage de t=0.
Apres il reste juste à modifier légèrement tes calculs pour arriver à \Large \ell(E_{ij})=\{1+o(1)\\o(1) au voisinage de t=0.
Je rappelle qu'on dit que 3$ f={o}_a(g) \Longleftrightarrow \lim_{x\to a} \ \fr{f(x)}{g(x)}=0.

Finalement tout ceci signifie juste que 3$ \lim_{t\to 0} \ \ell(E_{ij})= \{{1 \text{ si } i=j \\ 0 \ \text{ sinon}
mais tu peux voir qu'ici, la variable t n'intervient pas, donc ce n'est pas une limite mais une vrai égalité !

Bref, c'était pour pas laisser ca en plan comme ca.

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 02:59

Désolé de t'avoir abandonné! En fait, j'ai vu sur wiki qu'il y avait une expression pour la dérivée du déterminant : on note \Large A(t) = (a_{ij}(t))_{1\le i,j\le n}.

Alors \Large \det A(t) = \Bigsum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)\left(\Bigprod_{i=1}^na_{\sigma(i)i}(t)\right) et puis en dérivant \Large \det\prime A(t) = \Bigsum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)\left(\Bigprod_{i=1}^na_{\sigma(i)i}(t)\right)\prime = \Bigsum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)\left(\Bigsum_{i=1}^na_{\sigma(1)1}(t)\cdots a_{\sigma(i)i}\prime(t)\cdots a_{\sigma(n)n}(t)\right).

Puis on ré-arrangeant : \Large \det\prime A(t) = \Bigsum_{i=1}^n\left(\Bigsum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)a_{\sigma(1)1}(t)\cdots a_{\sigma(i)i}\prime(t)\cdots a_{\sigma(n)n}(t)\right).

Cette dernière égalité est égale à \Large \Bigsum_{i=1}^n \det(C_1(t),\cdots,C\prime_i(t),\cdots,C_n(t)).

Juste une confirmation : si je note \Large (C_1(t),\cdots,C_n(t)) les n vecteurs colonnes de ma matrice \Large A(t), a-t-on que \Large \det(C_1(t),\cdots,C_n(t)) = \det A(t) ? En même temps, ça serait logique!

Bref ici, \Large (I_n+tM) = (C_i+tD_i)_{1\le i\le n} où \Large C_i (resp. \Large D_i) est la i-ème colonne de la matrice \Large I_n (resp. \Large M).

Alors \Large f'(t)=\det'(I_n+tM)=\Bigsum_{i=1}^n\det(C_1+tD_1,\cdots,D_i,\cdots,C_n+tD_n) et donc \Large f'(0)=\Bigsum_{i=1}^n\det(C_1,\cdots,D_i,\cdots,C_n)=\Bigsum_{i=1}^nm_{ii}=tr(M).

Un peu moche, mais ça fonctionne !

Posté par
infophilere : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 08:55

Bonjour

Une autre méthode :

3$ Det(I_n+xA)=x^nDet\left(A+\frac{1}{x}I_n\right)=x^n\chi_A\left(-\frac{1}{x}\right)

Et comme 3$ \chi_A(t)=(-1)^n(t^n-\text{Tr}(A)t^{n-1}+...)il vient au voisinage de 0 :

3$ Det\left(I_n+xA\right)=1+xTr(A)+o\left(x\right)

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 11:15

Bonjour

H_aldnoer > Oui c'est une autre méthode. Un peu bourrin mais ca amène bien au résultat.

infophile > Vraiment bien comme idée ca ! J'avais zappé le polynôme caractéristique
En plus ca ne fait utiliser que des outils du CAPES cette fois ci j'imagine.

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 12:43

Merci! Par contre, un truc un peut bête, comment passer du petit o au grand O ?

Sinon, Narhm, pour reprendre ton idée : comme le déterminant est n-linéaire continue on sait qu'il est différentiable et que de plus sa différentielle c'est elle même. Donc dans ton développement, on a en fait \Large\ell = det si je ne me trompe pas ?!

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 13:46

Dans mon post de 10-11-09 à 01:48, si tu as bien compris l'histoire des petits o, j'ai montré que 3$ \ell(E_{ij})=\delta_{ij} (le symbole de Kronecker ) pour tout i,j n'est ce pas ?
Clairement ca veut dire 3$ \ell=Tr ( tu peux prendre une matrice quelconque pour t'en convaincre ) !

Citation :
comme le déterminant est n-linéaire continue on sait qu'il est différentiable et que de plus sa différentielle c'est elle même.

La différentielle d'une application linéaire est elle même : ok
La différentielle d'une application bilinéaire n'est pas du tout elle même ! Tout simplement parce que la différentielle d'une application différentiable est une application linéaire !

Pour retrouver le grand O, il suffit de voir que F admet un Dl à l'ordre 2 : F(u)=F(0)+uF'(0)+u^2/2F''(u)+o(u^2).

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 14:49

Ok. Par contre je ne suis toujours pas convaincu pour le grand O :/

En reprenant la méthode de infophile par exemple : pour \Large t\in\mathbb{R}^*, on a \Large\det(I_n+tM)=t^n\chi_M(-\frac{1}{t}). Jusqu'ici pas de problème!

Alors après, j'ai plus de mal avec les notations de Landau.
\Large\chi_M(X)=(-1)^nX^n+(-1)^{n-1}tr(M)X^{n-1}+Y(X) avec \Large Y(X) = \Bigsum_{k=0}^{n-2}f_k(M)X^k où les \Large f_k sont des polynômes en les coefficients de la matrice \Large M (par exemple \Large f_0(M)=\det(M)).

On a donc : \Large t^n\chi_M(-\frac{1}{t})=1+tr(M)\times t+t^nY(-\frac{1}{t}) et donc il faut prouver que \Large t^nY(-\frac{1}{t}) = O(t^2).

Et la je crois que si j'arrive à prouver que pour chaque \Large k\in \{0,\cdots,n-2\} ,  \Large t^nf_k(M)(-\frac{1}{t})^k = O(t^2) alors c'est gagné en sommant sur k, mais je ne suis pas certain.

Posté par
infophilere : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 15:54

Salut vous deux

Tu t'embêtes bien ! avec ma méthode il suffit juste de factoriser par x², et ce qui est en facteur est alors clairement borné au voisinage de 0. C'est la définition d'un grand O.

Si tu préfères on pousse le DL un peu plus loin.

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 16:42

Salut!

Que factorises-tu par \Large x^2 ?

Posté par
infophilere : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 17:47

Les termes qui figurent dans mon o(x) que l'on a pas écrit.

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 18:51

Ok, mais c'est justement ce que je ne vois pas. Pour cela, je suppose qu'il faut avoir écris ce qu'est le "..." dans le développement du polynôme caractéristique, non ?

Peut-être était-ce plus simple d'écrire \Large\chi_M(X)=(-1)^nX^n+(-1)^{n-1}tr(M)X^{n-1}+P(X) avec P un polynôme de \Large\mathbb{R}_{n-2}[X] ?

Posté par
infophilere : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 18:56

oui voilà, mais t'as pas besoin d'expliciter P, le fait qu'il soit dans R_{n-2}[X] suffit.

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 19:18

Merci bien
Par contre, sais-tu s'il existe une relation entre o et O ?

Posté par
infophilere : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 19:20

De rien

comment ça une relation ?

un o est à fortiori un O (reviens aux définitions).

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 19:34

Oui, c'est vrai
Merci infophile!

Posté par
infophilere : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 19:41

De rien

Tu sais que t'es une des premières personnes à m'avoir aidé sur l' ? Un petit peu d algèbre...

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 19:45

Posté par
infophilere : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 19:48

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 19:49

Bravo, maintenant je regarde tous les vieux topics! Ils sont passés ou les anciens ? Isis, Emma, philoux & Cie!

Posté par
infophilere : Dérivée sur un déterminant 10-11-09 à 19:53

C'est marrant de revoir ces topics, j'écrivais parfois en sms et j'ai même fait une ou deux fois du multipost on a grandi avec l' (nostalgie )

Je me rappelle romain et toi en compétition de 3$ \LaTeX

Posté par
Narhmre : Dérivée sur un déterminant 11-11-09 à 14:44

Bonjour bonjour,

Je vois que le topic a bien avancé, tout est reglé alors pour cette histoire de det et de grand O ?

On aurait pu simplifier un peu cette histoire de grand O :

Une fois qu'on a que 3$ de t(I_n+uM)=1+tr(M)u+o(u) comme on sait que la fonction F(u)=de t(I_n+uM) est \mathcal{C}^{\infty}, elle est en particulier \mathcal{C}^2 et donc elle admet un DL2(0) :
3$ F(u)=F(0)+uF'(0)+F^{''}(0)\fr{u^2}{2}+o(u^2) = 1+tr(M)u+F^{''}(0)\fr{u^2}{2}+o(u^2)=1+tr(M)u+\mathcal{O}(u^2)

puisque 3$ \fr{F^{''}(0)\fr{u^2}{2}+o(u^2)}{u^2}=\fr{F^{''}(0)}{2}+o(1)=\fr{F^{''}(0)}{2}+\epsilon(u), \text{ avec } \lim_{u\to 0} \ \epsilon(u)=0 est borné au voisinage de 0.


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