Bonjour,
ca doit se faire facilement avec des récurrences.
C'est un exoa ssez classique.

1) (x²-1)^n est un polynôme en x, pair et de degré 2n. En dérivant n fois, on va donc obtenir un polynôme de degré n; la dérivée d'un polynôme pair est impaire, et inversement; puisque l'on a dérivé n fois, la parité de Pn sera donc celle de n...
2) (x²-1)^n=f(x)*g(x) où f(x)=(x-1)^n et g(x)=(x+1)^n
La dérivée d'ordre n du produit f*g est égale à la somme des produits de la dérivée d'ordre k de f par celle d'ordre n-k de g.
la dérivée d'ordre k de f vaut (n!/(n-k)!)(x-1)^(n-k) ; pour x=1, toutes les dérivées de f sont nulles, sauf la dérivée d'ordre n qui vaut n!, et comme g(1)=2^n
P(1)=1, ce que l'on a vu de la parité à la question 1 entraîne que P(-1)=(-1)^n
3) De la même façon que ci dessus, on montre que toutes les dérivées d'ordre p (pour p<n) de (x²-1)^n s'annulent pour x=±1
(x²-1) s'annule donc en -1 et 1, donc sa dérivée s'annule en un point strictement compris entre -1 et 1: sa dérivée s'annule donc en 3 points...
et par récurrence, la dérivée n-ième s'annule en n+2 points dont n compris entre -1 et 1