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dérivées directionnelles
Bonjour,
f(x,y) = xy / 
(x²+y²)
Montrer que f n'admet pas de dérivées directionnelles selon les directions qui ne
sont pas colinéaires aux axes de coordonnées.
J'ai posé v = (v1,v2) et je veux étudier la limite quand t tend vers 0 en fonction de v de
(1/t)*(f(x + tv1,y + tv2) - f(x,y) )
Il faut montrer que si v = (v1,v2) 
(0,0) alors la limite n'existe pas.
En procédant comme ceci ça fait des expressions lourdes assez vite et je parviens pas à grand chose donc je me demande si y'a plus astucieux ?
Merci pour votre aide
salut
une direction non parallèle aux axes s'écrit x = ty ou y = tx avec t <> 0 ...
et ton v est faux c'est v = (v1, v2) avec v1v2 <> 0
Merci pour vos réponses.
Je suis pas du tout avec vous malheureusement, j'en suis encore aux premières définitions, faut vraiment y aller comme si j'étais débile !!
déjà ça : v1v2 <> 0 je comprends pas le "<>"
Ensuite je comprends pas du tout la réponse de jsvdb, je vois même pas le rapport avec le problème de base.. mais j'ai vraiment envie donc si vous pouvez détailler un peu plus ce serai avec plaisir 
Pour prendre le problème, j'ai fait comme ci-dessus.
J'utilise la définition de la dérivée directionnelle :
∂f/∂v (x) = limt→0 (f(x + tv) − f(x))/t
Et je m'intéresse aux vecteurs dont les directions sont non parallèles aux axes de coordonnées.
Et je devrai normalement trouver que limt→0 (f(x + tv) − f(x))/t n'existe pas.
Jusqu'ici j'y suis ?
f étant une fonction de deux variables x et y, que signifie la définition que tu donnes où f 'est une fonction d'une seule variable ?
J'ai pris la définition générale mais oui, il faut écrire :
∂f/∂v (x,y) = limt→0 (f(x + tv1,y+tv2) − f(x,y))/t
a <> 0 signifie a 0
simplement jsvdb a pris la direction x = ty ... comme je te l'ai dit et alors on étudie suivant le vecteur (1, t)
pour t <> 0 tu as alors toutes les directions non parallèles aux axes ...
f(x + h, y + th) - f(x, y) = ....
f(x + h, y + th) - f(x, y) = [(x+h)(y+th)/( (x+h)² + (y + th)²)] - xy/(x² + y²)
on doit étudier lim h -> 0 de (1/h) * [ [(x+h)(y+th)/( (x+h)² + (y + th)²)] - xy/(x² + y²) ]
et normalement elle n'existe pas. En développant, j'ai du mal à étudier la limite . C'est la seule façon de faire ?
Bonsoir wuksey !
Je crois que tu as du mal parce que les autres carpediem et jsvdb (salut à vous deux !) n'ont pas précisé qu'ils étudiaient la dérivation en .
Tu trouveras ce qu'ils ont dit en remplaçant par
dans tes calculs.
.............................
Maintenant, tu as raison : s'il faut aussi étudier la dérivation selon une direction y compris en des points autres que l'origine (du moins si tu as bien donné l'énoncé : ce dont je doute) les calculs sont plus compliqués.
Par exemple, pour étudier aussi la dérivation selon une direction en un point autre que l'origine, disons (j'aime bien donner des noms "fixes" et laisser les lettres
pour ce qui "bouge") je propose la direction
(de même j'évite d'avoir à traîner des indices, surtout quand on ne "sait" pas les écrire) tu dois donc chercher les limites éventuelles en
de
C'est un "gros" machin peu engageant mais, s'il le faut, il faut : tu devrais essayer, c'est faisable.
Je te signale qu'il y a ici une autre méthode mais il faut connaître son cours :
Il est facile de voir que la fonction est dans tout voisinage de
par calcul des dérivées partielles en
, donc différentiable. Si
est la différentielle en
(à toi de l'écrire) la dérivée en direction
sera alors
.
Ce qui est important c'est que cette dérivée directionnelle existe, sans restriction. Autrement dit tu as dû oublié de donner l'énoncé exact : montrer qu'il n'y a pas de dérivée directionnelle en sauf dans la direction des axes.
Un autre oubli !
Tu dois préciser, avant tout calcul, comment tu définis la fonction en car la formule donnée ne peut être utilisée en ce point.
Là encore il doit y avoir un bout d'énoncé omis !
Merci beaucoup pour ta réponse luzak, c'est très clair je m'y colle dés maintenant pour tout comprendre.
Enoncé complet :
1. Montrer que f admet des dérivées partielles en (0, 0).
2. Montrer que f n'est pas différentiable en (0, 0).
3. Montrer que f n'admet pas de dérivées directionnelles selon les directions qui ne
sont pas colinéaires aux axes de coordonnées.
Un petit doute :
Si je résume, comme f est différentiable sur R² \ {0,0}, ça veut dire qu'elle admet des dérivées directionnelles dans toutes les directions sur R² \ {0,0} (pas vraiment en fait puisqu'on doit montrer qu'elle en admet pas selon les directions qui ne sont pas colinéaires aux axes de coordonnées... mais c'est dans mon cours : "Lorsqu'une fonction est différentiable, elle admet des dérivées directionnelles dans toutes les directions et on peut les calculer à l'aide de la différentielle.")
Donc inutile d'aller étudier la limite de t en 0 de (f(x+tu,y+tv) - f(x,y))/t sur R² \ {0,0}.
Par contre comme elle est pas différentiable en (0,0), on peut regarder la limite de t en 0 de (f(x+tu,y+tv) - f(x,y))/t pour (x,y) = (0,0) et pour v = (u,v) = (x,kx) avec k<> 0 .
C'est à dire :
lim t->0 f(tx,tkx)-f(0,0)/t
=lim t->0 t²x²k/ t.|t| |x| (1+k²)
=lim t->0 t|x|k/|t|(1+k²)
=
|x|k/(1+k²)
Et donc de conclure que la limite n'existe pas.
J'ai juste une dernière question. Là, je viens de montrer que la dérivée directionnelle n'existe pas au point (0,0) selon la direction colinéaire à l'axe des abscisses. Et ça, ça implique que la dérivée directionnelle n'existe pas du tout selon la direction colinéaire à l'axe des abscisses, juste parce que ça marche pas pour un point ?
Pourquoi utiliser deux variables pour la direction ? Prends avec
(tu as ainsi toutes les directions, sauf celles des axes).
Ton histoire de "ne marche pas pour un point" ne veut rien dire : tu n'as pas de dérivée directionnelle selon une direction autre que celle des axes pour l'origine, seulement pour ce point !
Comme tu le signales la différentiabilité en un point autre que l'origine implique que pour un tel point les dérivées directionnelles existent pour toutes les directions. Bref les questions 1. et 3. de ton énoncé se contredisent !
Je répète que tu n'as toujours pas défini ta fonction en . C'est indispensable pour faire le 1. et le 2.
Comment montrer le 2. ? Soit directement (définition de la différentiabilité) soit en utilisant la condition nécessaire non satisfaite (pas de dérivée dans une direction autre que celle des axes)
En 3. il y a probablement une paresse du rédacteur de l'énoncé de répéter pour la troisième fois "en (0,0)".
Merci c'est bien compris !
avec a = (0,0) et v = (1,t) t<> 0
[f(a1 + tv1, a2 + tv2) - f(a1,a2)]/ h
= f(h,ht) / h
=h² t / h h²(1+t²)
= |h| t/h(1+t²)
lim h->0 |h| t/h(1+t²) = t/(1+t²)
Donc la limite n'existe pas. C'est bon comme ça ?
non tu n'as rien compris !!! (ni appris)
tu ne sais toujours pas écrire des indices et tu rends illisible ce que tu écris alors qu'il y a 26 lettres dans l'alphabet latin !!!
et écrire avec a = (0, 0) ben on s'en fout et c'est inutile : (0, 0) = (0, 0) !!!!!!!!!!!!!!!
enfin comme l'a justement bien dit et complété nos propos : le seul pb est en (0, 0) ... et on ne connait toujours pas son image par f !!!
remarquer que f(0, y) = f(x, 0) = 0 donc il n'y a pas de pb sur les axes !!!
donc :
1/ comment définir f(0, 0) et que vaut-il ?
2/ f(0 + h, 0 + th) = ...
1. f(0,0) = 0, c'est dans l'énoncé mais je l'ai pas mis.
Quand je dis a = (0,0) c'est pour dire que j'étudie la fonction au point que j'appelle a, et qui a pour coordonnées (0,0)( on fait comme ça en TD ^^).
Et ensuite f(h,th) je l'ai quotienté par h puis je regarde la limite quand h tend vers 0 ( définition de la dérivée directionnelle) et j'obtiens deux limites.
Sinon :
2/ f(h,th) = |h| t/(1+t²)
certes ... mais il est temps de comprendre que on ne peut pas faire de mathématiques sérieusement sans un énoncé exact et complet au mot près ...
ce qui évite de nous faire perdre du temps ...
d'après ma remarque à 12h05 il est évident que l'unique option est f(0, 0) = 0 ... mais il faut le dire !!! si c'est écrit dans l'énoncé ...
2/ ok ... et donc conclusion ?
C'est vrai, je me suis dis que c'était évident car à chaque fois dans les exos c'est toujours comme ça mais j'aurai dû le mettre.
2/ f(h,th) = |h| t/(1+t²)
Je ne sais pas quoi conclure à partir de ça. Niveau visuel je suis out, j'utilise les définitions bêtement, et donc là tout ce que je fais c'est la définition de la dérivée directionnelle comme dit plus haut...
Je regarde la limite de f(h,th)/h quand h tend vers 0 et ça me donne t/(1+t²)
Donc comme on a deux limites(t/(1+t²) , -t/(1+t²) ) la dérivée directionnelle n'existe pas au point (0,0) selon les directions non colineaires aux axes de coordonnées.
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