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derivees partielles
bonjour,
voici l'exercice qui me pose probleme:
on considere la fonction f:R--->R^2
f(x,y)= y^2.sin(x/y) si y
0
0 si x=y
1) montrer que f est continue sur R^2 ça ça va j'ai etudie la limite de la fonction xy lorsque (x,y)--->(x0,0) et je trouve 0 ce qui correspond a f(x0,0) est ce correct est ce la bonne methode ??
2) la les choses se corsent :montrer que f admet des derivees partielles premieres en tout point de R^2 et les calculer (donnez moi une methode clair car en td se fut un peu l'anarchie quels proprietes je dois utiliser j du mal a faire la difference entre les notion de derivees partielles premieres differentiabilité et la differentielles .comment fait t'on pour montrer par exemple qu'un fonction f est differentiable sur ce genre d'exercice)
3) montrer qur dronddef/drondx est continue sur R^2
merci a vous de m'eclairer la dessus j'ai un exams lundi et il y en aura peut etre un peu meme si on n'en a pas fait encore beaucoup
Pour calculer la dérivée partielle de f(x,y) par rapport à x :
Tu considères que y=C=constante. Donc la fonction f(x,C)est alors une fonction de x seul. Tu dérives classiquement pour trouver f'(x). Dans ce f'(x), il y a C que tu remplaces par y. La fonction de x et de y que tu as trouvée est la dérivée partielle par rapport x.
Pour calculer la dérivée partielle de f(x,y) par rapport à y :
Tu considères que x=C=constante. Donc la fonction f(C,y)est alors une fonction de y seul. Tu dérives classiquement pour trouver f'(y). Dans ce f'(y), il y a C que tu remplaces par x. La fonction de x et de y que tu as trouvée est la dérivée partielle par rapport y.
oui ça j'avais compris mais on montre comment qu'elle admet des derivees partielles en tout point de R^2 ?
pouvez me faire un petit topo sur la differentiabilite differentielle je melange un peu toutes ces notions
et comment on montre que drondf/dronx est continue sur R^2 ?
tu calcules tes derives partielles par rapport a x et y sur RxR*, ca pose pas de probleme.
ensuite sur Rx{0}: df/dx = lim (f(x+h,0)-f(x,0))/h qd h-->0 et tu peux prouver la continuite de df/dx.
idem pour df/dy et je pense qu'elle n'est pas continue.
tu ne peux donc pas dire que f est differentiable sur RxR.
Rappel: f differentiable de differentielle continue <=>
df/dx et df/dy existent et continues
f differentiable => df/dx et df/dy existent mais on a pas la reciproque.
Il faut revenir a la definition de la differentielle si tu veux prouver que f differentiable.
ensuite sur Rx{0}: df/dx = lim (f(x+h,0)-f(x,0))/h qd h-->0 et tu peux prouver la continuite de df/dx.
idem pour df/dy et je pense qu'elle n'est pas continue.
tu ne peux donc pas dire que f est differentiable sur RxR.
la j'ai pas tout compris
dis moi si c correct pour df/dy = lim (f(0,y+h)-f(0,y)/h si elle continue j'ai une limite fini c'est ça h c'est quoi ?
peux tu me detailler un peu tout ça je vois pas de quels proprietes tu te sers et je crois que je melange differentielle et differentiable
Deriver f par rapport a x revient a deriver g:x-->f(x,y) et tu retombe sur la definition de derivee: g'(x)=lim (g(x+h)-g(x))/h qd h-->0
Ton probleme est que ca coince sur Rx{0} donc tu es obligé de revenir a ces definitions.
Tu as df/dy(x,0)= lim (f(x,h)-f(x,0))/h = ... qd h-->0
et donc ca ne sera pas continue car si tu fais lim df/dy(x,y) qd y-->0 tu retombes pas sur df/dy(x,0)
Ensuite si une application est differentiable, tu appelles df(x) sa differentielle (ici x appartient à RxR), c'est juste ça le lien entre differentiable et differentielle.
pour la premiere question de l'exo je me suis rendu ke j pouvais pas conclure a vune limite egale a 0 je tombe sur une forme indetermine comment la faire sauter ? et si quelqu'un pouvait me rediger la suite pour que je puisse voir la methode clairement.
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