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Dérivées partielles d'ordre 2

Posté par
munnin 05-07-08 à 11:45

Bonjour a tous!Je viens de classer mes cours de maths de cette année et j'ai rencontré un petit probleme!

Je ne comprend pas comment exprimer 2f/2 p

Pour une fonction f(p,)=(p*cos,p*sin). Pour ce qui est de la dérivée partielle d'ordre 1, je n'ai aucun probleme!

Quelqu'un pourrait-il m'aider??

Merci d'avance et bon week end a tous

Munnin

Posté par
gui_toure : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 11:47

Salut munnin

Il suffit de dériver 4$\fr{\partial f}{\partial p} par rapport à p !

Posté par
munninre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 11:50

humm oui ok je pensais a ça aussi!

Mais dans mon cours j'ai des x/y (et inversement)qui interviennent et je ne vois pas trop d'ou ils viennent...

Posté par
gui_toure : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 11:53

Je ne vois pas de quoi tu parles

Peut-être le théorème de Schwarz ?

Soit 3$f une fonction à deux variables 3$x et 3$y. Alors 4$\fbox{\fr{\partial^2f}{\partial x \partial y}=\fr{\partial^2f}{\partial y \partial x}

Posté par
munninre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 11:54

Je te poste la reponse de mon prof^^

Posté par
munninre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 11:58

2(p,)/p2=2f(p,)/x2 *cos2+2f/yx)*sincos ...........et il reste encore 2 termes^^

Désolé si c'est pas trés lisible mais je galere^^

Posté par
Arkhnorre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:02

Bonjour.

Il me semble qu'il faut une hypothèse de plus sur la continuité des dérivées partielles pour pouvoir appliquer Schwarz.
Les dérivées peuvent exister, sans être continues, et dans ce cas la, le résultat est généralement faux.

Posté par
gui_toure : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:04

Bonjour Arkhnor

Vi vi mais c'était histoire de savoir si c'était ce dont il parlait. Evidemment, il y a quelques hypothèses pour ce théorème :

Posté par
munninre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:05

On sait que f est C2 de 2 dans ..

Posté par
munninre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:06

Gui_tou, tu peux m'ecrire ce que donnerais ta derivée partielle d'ordre 2 pour ma fonction si tu as le temps stp.

Posté par
munninre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:07

Ou Arkhnor si tu te sens d'attaque^^

Posté par
Arkhnorre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:07

Dans ce cas la, si la fonction est C², pas de souci.

Posté par
gui_toure : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:09

Je laisse la main à Arkhnor bien plus compétent

(au feeling j'aurais dit 3$\fr{\partial^2 f}{\partial p^2}=(-\sin\alpha,\cos\alpha))

Posté par
munninre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:12

Ok! merci quand meme gui_tou

Posté par
Arkhnorre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:15

Je trouve :

\frac{\partial f}{\partial p} (p, \alpha) = (cos \alpha, sin \alpha) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial p^2}(p, \alpha) = (0, 0)

et :

\frac{\partial f}{\partial \alpha} (p, \alpha) = (-psin \alpha, pcos \alpha) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial \alpha^2}(p, \alpha) = (-pcos \alpha, -psin \alpha) = -f(p, \alpha)

sauf erreur

Posté par
munninre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:15

C'est pa grave Arkhnor , je viens de comprendre!!Merci a vous!!Bon week end et bonne vacances a tous les membres de l'ile


cordialement
Munnin

Posté par
Arkhnorre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:17

Et on trouve bien :

\frac{\partial^2 f}{\partial p \partial \alpha}(p, \alpha) = \frac{\partial^2 f}{\partial \alpha \partial p}(p, \alpha) = (-sin \alpha, cos \alpha)

Posté par
Arkhnorre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:21

J'ai l'impression qu'il y a confusion dans l'énoncé.

Tu dis que 3$ f \in \mathfrak{C}^2(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}).

Or, l'expression de f que tu donnes, est à valeurs dans \mathbb{R}^2

Peux-tu préciser un peu plus ?

Posté par
gui_toure : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:23

Décidément, je plane à 3 milles ce matin Arkhnor a parfaitement raison!

Posté par
Arkhnorre : Dérivées partielles d'ordre 2 05-07-08 à 12:25

Pas de souci, gui_tou

Dans la lancée, tu as dérivé par rapport à la mauvaise variable


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