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Dérivées partielles, petite démonstration

Posté par
H_aldnoer 30-11-07 à 11:10

Bonjour,

je cherche à montrer que Df(x,y).(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)h+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)k.

je sais que Df(a).e_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)

donc j'écris (h,k)=he_1+ke_2 ou (e_1,e_2) est la base canonique de \mathbb{R}^2

et Df(x,y).(h,k)=Df(x,y).he_1+ke_2=hDf(x,y).e_1+kDf(x,y).e_2=h\frac{\partial f}{\partial x_1}(x,y)+k\frac{\partial f}{\partial x_2}(x,y)

ou est mon erreur ?

Posté par
Rodrigore : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 11:59

Il n'y en a pas!

Posté par
H_aldnoerre : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 12:22

Je veux montrer :
Df(x,y).(h,k)=\frac{\partial%20f}{\partial%20x}(x,y)h+\frac{\partial%20f}{\partial%20y}(x,y)k

J'arrive à  :
Df(x,y).(h,k)=\frac{\partial%20f}{\partial%20x_1}(x,y)h+\frac{\partial%20f}{\partial%20x_2}(x,y)k

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 12:58

Bonjour
c'est pareil ! ce sont des variables muettes : c'est juste pour dire si on dérive par rapport à la première variable (x ou x_1) ou par rapport à la deuxième (y ou x_2)

Posté par
H_aldnoerre : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 13:01

est-ce que cela signifie que dans la définition :
Df(a).e_i=\frac{\partial%20f}{\partial%20x_i}(a)

on a a=(x_1,...,x_n) ?

Posté par
robby3re : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 13:52

je pense oui mais regarde sur quoi est défini ta fonction!

Salut à tout le monde au passage

Posté par
robby3re : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 13:59

en fait je crois pas non...
mais c'est égale à la some des dérivées partielles non?

Posté par
H_aldnoerre : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:00

je ne vois pas !

Posté par
robby3re : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:03

En fait il me semble qu'on a ceci:

on a f:O->R ou O est un ouvert de R^p
a=(a_1,...,a_p) \in O
(ei)_{1\le i\le p} une base canonique de R^p

euhh je veux bien essayer d''expliquer mais comment qu'on fait les dérivées partielles latex?

Posté par
H_aldnoerre : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:04

lol c'est la commande \partial

Posté par
H_aldnoerre : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:07

Mais j'ai vu dans le cours :
Df(a).h=\Bigsum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)h_i si h=(h_1,...,h_n)

on l'utilise comment ici ??

Posté par
robby3re : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:12

Donc je reprend,

Dans l'écriture de \frac{\partial(f)}{\partial x_i},
x_i désigne le fait que l'on dérive selon la i-ieme variable sans lien direct avec le point a\in O ou l'on prend cette dérivée.

Les dérivées partielles \frac{\partial f}{\partial x_i}existen et en a et Df(a) est une définie par:

\rm \large \forall h=(h_1,...,h_p)\in R^p Df(a).h=Df(a)(h)=\Bigsum_{i=1}^p \frac{\partial(f)}{\partial x_i}(a).h_i

Si tu veux,
\rm \large Df(a)=\Bigsum_{i=1}^p \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) dx_i

je sais pas si c'est plus clair.

Posté par
Rodrigore : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:12

ben c'est exactement ce que tu veux démontrer avec n=2

Posté par
H_aldnoerre : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:19

Je prend n=2 :

Df(a).(h_1,h_2)=\frac{\partial%20f}{\partial%20x_1}(a)h_1+\frac{\partial%20f}{\partial%20x_2}(a)h_2

donc "le a" c'est a=(x_1,x_2) si je comprend bien ?

Posté par
Rodrigore : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:24

Le a c'est un point quelconque de ton ouvert U ou la fonction est définie.
Ici x1 et x2 n'ont aucune signifiaction, cela signifie simplement que tu dérives par rapport à la première et à la deuxième coordonnes ont les note d'ailleurs souvent \partial_i

Posté par
H_aldnoerre : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:27

puisque a est un point, on peut bien écrire ces coordonées dans la base canonique non ?

Posté par
Rodrigore : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:28

Oui, tu peux ecrire a=(a1,...,an) mais ca n'a pas grande importance ici. Pourquoi vourait tu faire ça?

Posté par
H_aldnoerre : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:30

Citation :
Ici x1 et x2 n'ont aucune signifiaction, cela signifie simplement que tu dérives par rapport à la première et à la deuxième coordonnes ont les note d'ailleurs souvent \partial_i


Donc on peut écrire ça : Df(a).h=\Bigsum_{i=1}^n%20\frac{\partial%20f}{\partial_i}(a)h_i ?

Posté par
Rodrigore : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:33

Oui mais on note plutot \partial_i f que \frac{\partial f}{\partial i} ce qui n'a de toute façon aucune importance du moment qu'on sait ce qu'on fait

Posté par
H_aldnoerre : Dérivées partielles, petite démonstration 30-11-07 à 14:40

Ok.
Merci.


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