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dérivées successives
Bonjour,
je bloque sur un exercice sur les dérivées nième d'une fonction
Soit P = (X²-1)^n Montrer que pour tout k appartenant {1, · · · , n}, P(k)(dérivée kième] possède exactement
k racines x1, · · · , xk vérifiant
−1 < x1 < · · · < xk < 1.
Merci d'avance.
Merci kaiser,
tu n'aurais pas une idée sur la démonstration du lemme suivant.
Soit f : x 7! Pn
sigma(k=0..N) (ak cos kx + bk sin kx) un polynome trigonometrique de degre n. On suppose que f
s'annule en 2n + 1 points distincts de [0, 2Pi[. Montrer que f congru 0, et en particulier que les ak et les bk sont nuls.
Alors, j'obtiens un polynome de degré 2n qui admet 2n+1 racines, donc je conclus qu'il est nul et finalement que f l'est, c'est bien ca l'esprit de la demo ?
Fais une récurrence (finie) sur
Pour il est cair que
admet une unique racine dans
.
Supposes alors que , pour un certain
(où bien entendu
) , admet exactement
racines distinctes dans
notées
,
Commences par remarquer que s'annule en
et
( vu que
et
sont des racines de
de multiplicité
) ,
il est alors clair (en appliquant Rolle comme te l'a fait remarquer Kaiser) que s'annule au moins une fois sur chacun des
intervalles
,
, .. ,
et
en faisant le bilan des racines de on a :
et
de multiplicité
chacune ,
les racines determinées ci-dessus ,
cela donne au total racines pour
(racines comptées avec leur ordre de multiplicité) et comme le degré de
est
on conclut qu'il s'annule exactement
fois sur
(sauf erreur bien entendu)
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