bonjour

si Z=2a/(1+a²) est réel => son conjugué l'est aussi => Z=Z*

2a/(1+a²)=2a*/(1+a*²) => a+aa*²=a*+a*a²

or aa*=|a|²

a+a*|a|²=a*+a|a|²

a-a*+|a|(a*-a)=O

(a-a*)(1-|a|)=0

comme a est non réel a-a* est non nul

|a|=1

Vérifie...

(merci à bel_jad5 )

Philoux

dans l'autre sens

|a|=1 => Z réel

Z=2a/(1+a²)

multiplies haut et bas par a*

Z=2aa*/(a*+a.a*.a)

comme aa*=|a|²=1

Z=2/(a*+a)

comme a+a* est réel = 2Re(a)

Z=1/Re(a)

|a|=1 => Z est réel

Vérifie...

Philoux

Wow... merci

Encore une autre question
il faut chercher le mod et l'arg de z1=a+b et z2=a+1/b avec a,b dans le demi-cercle trigonométrique supérieur.

Est-ce que tu as aussi une idée pour ce prob ?
Merci

hi philoux t'a bien compris l astuce
t'a trouvé que -2x2y+2y+2y3=0
comme a "a" non réel alors y#0
on simplifie par y
on obtient -2x²+2-2y²=0
d ou x²+y²=1
c a d |a|=1
voila mais je prefere l autre :z est réel ssi z*=z

je ne sais que le faire si on multiplie des complexes, alors le mod est multiplié et l'arg est additionné.
mais avec une somme, je ne le sais pas... je suis trop bête

Re

1) tu aurais du poster un nouveau topic

2) a et b sont bien complexes ? sont-ils sur le cercle trigo ou dans le cercle trigo ?

Philoux

sur le cercle
donc |a|=|b|=1

Pour l'instant, je ne vois pas plus sioux (moins "bourrin") que de décomposer :

a=cosx+isinx (A)

b=cosy+isiny (B)

et d'exprimer X et Y de M par la relation vectorielle OM=OA+OB

Peut-être bel_jad5 a-t-il plus élégant ?

Philoux

en prenant a = cos(t1) + i sin(t1) et b = cos(t2) + i sin(b2)
je trouve |z1|=2 cos(1/2*(t1-t2)
est-ce que cela pourrait être juste (j'ai utilisé le formulaire trigonom)

pour le module

|Z|²=(cosx+cosy)²+(sinx+siny)²=2+2(cosxcosy+sinxsiny)= 2(1+cos(x-y))=4cos²((x-y)/2)

|Z|=2|cos((x-y)/2)|

Vérifies...

Philoux

et donc pour l'arg, j'ai arg(z1) = +/- 1/2 (t1+t2)

posts croisés

attention à la valeur absolue !

Philoux

youppi, pour le mod c'est déjà le même résultat

MERCI !!!!

pour l'argument, des considérations géométriques que le losange te fournissent l'angle...

Philoux

ah oui, c'est vrai, c'est un losange