Niveau Maths sup

Des cosinus un peu bizarres

Posté par
cerveaulogik 27-04-18 à 17:15

Bonjour,
On peut prouver à partir de la formule de Moivre et du binôme de Newton que pour tout $x$ réel, on a
$cos(5x)=16cos^{5} x + 20cox^{3}x+5cos x$
L'exercice est d'en déduire la valeur exacte algébrique de $cos(\dfrac{\pi}{5})$
Je pose $x=\dfrac{\pi}{5}$ et j'obtiens
$cos(\pi)=-1=16 cos^{5}\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+20 cos^{3}\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+5cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)$
Mais ça ne m'aide clairement pas... Sachant que les équations de degré 5 n'admettent généralement pas de formule permettant d'exprimer toutes leurs solutions.

Posté par re : Des cosinus un peu bizarres 27-04-18 à 17:15

Merci d'avance pour ceux qui voudraient bien m'aider.

Posté par re : Des cosinus un peu bizarres 27-04-18 à 17:29

Bonjour !
En prenant $x=\dfrac{\pi}{10}$ tu as, pour $z=\cos\dfrac{\pi}{10}$ l'équation $16z^5+20z^3+5z=0$ dont on peut donner les solutions par radicaux.

Attention ! Bien choisir la racine qui convient !

Comme $\cos\dfrac{\pi}{5}=2z^2-1$ ...

Posté par re : Des cosinus un peu bizarres 27-04-18 à 17:33

Bonjour,
L'astuce était incroyable...
Du coup tout devient trivial...
Merci beaucoup !

Posté par re : Des cosinus un peu bizarres 27-04-18 à 17:38

Les racines en $z^{2}$ sont $\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}$ et $\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}$ .

C'est $\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}$ .
En effet, supposons que c'est l'autre. Comme on a
$cos(\dfrac{\pi}{2})=0<z^{2}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{8} < \dfrac{1}{2}=cos(\dfrac{\pi}{3})$
On a donc (comme $z>0$ ) :
$cos(\dfrac{\pi}{2})=0<z<\dfrac{1}{\sqrt{2}}=cos(\dfrac{\pi}{4})$

Par continuité de la fonction cos, le génial théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un $y \in [\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}]$ tel que
$\dfrac{\pi}{10}\equiv y [2\pi]$ .

Il y a donc une contradiction. C'est forcément $\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}$ .

Posté par re : Des cosinus un peu bizarres 27-04-18 à 17:39

On a donc $cos \dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}=\dfrac{\varphi}{2}$

Ca explique pourquoi on trouve le nombre d'or dans les pentagones...

Posté par re : Des cosinus un peu bizarres 27-04-18 à 18:58

Bonjour,

je pense qu'il y une petite erreur dans la formule du début,

en procédant comme au début de ton post

$cos(5x)=16~ cos^5x\textcolor{red}{-}20~ cos^3 x+5~ cos x$

en posant $x=cos\dfrac{\pi}{5}$ il vient

$16 x^5-20x^3+5x+1=0,~~(x+1)(4x^2-2x-1)^2=0$

il reste donc $cos\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$