Niveau Prepa (autre)

Des inégalités classiques en intégration

Posté par
Louloopings 20-08-24 à 18:30

Bonjours à tous !

M'entraînant pour mon entrée en spé, je faisais quelques exos sur l'intégration et celui-ci ne se laisse pas avoir :

1)
$\int_{0}^{pi/2}{f(t)sin(t)dt} = \int_{0}^{pi/2}{f(t)cos(t)dt} = 0$ avec f ? C⁰([0,?/2],?)
Montrer que f s'annule au moins 2 fois sur [0,/2]

2)
Soit f C⁰([a,b],?) avec (a,b) ? ?² et n ? ?,
Montrer que si :
$\int_{a}^{b}{f(t)t^kdt} = 0$ ? k entier entre 0 et n, alors f s'annule aux moins n+1 fois sur [a,b]

Pour la 1), on montre facilement que f s'annule aux moins 1 fois. Pour le deuxième point, je sépare les intégrales avec c le premier point d'annulation puis j'utilise les inégalités entre cos et sin sur [0,/2] pour essayer de bricoler afin de pouvoir utiliser la positivité de l'intégrale ! Je n'arrive pas a conclure mais j'ai l'impression de tourner autour ?

Pour la 2), c'est très bof et je n'ai pas grand chose mise a part le fait que par combinaison linéaire les hypothèses sont équivalentes a dire que pour tout polynôme P de ?n[X], l'intégrale de P(t)f(t) est nul. Je l'ai tenté par récurrence, sans succès?

Je remercie toute âme charitable qui pourrait m'aider avec quelques indices !

_{* Modération > Pluriels ajoutés dans le titre
Désolé pour les ?? *}

Posté par re : Des inégalité classique en intégration 20-08-24 à 20:24

salut

une idée pour 1) :

par positivité des fonctions cos et sin sur l'intervalle $I = \left[0, \dfrac \pi 2 \right]$ f s'annule au moins une fois pour la première intégrale en un réel a et au moins une fois en un réel b pour la deuxième (du fait que $\cos \ne \sin$

supposons que ce soit exactement en ces deux réels a et b et montre alors que $a \ne b$

pour 2) tu es sûre qu'on puisse prendre k = 0 (parce que par continuité de f alors f est nulle presque partout puisque $\int_a^b f(t)dt = 0$

sinon plus généralement les questions font penser au théorème de Rolle ... en posant $F(x) = \int_a^x f(t)t^k dt$

alors F(a) = F(b) = 0 donc il existe c dans ]a, b[ tel que F'(c) = 0 or F'(t) = f(t) t^k et t --> t^k ne s'annulle pas (sauf en 0)

(enfin ça c'est pour l'idée générale mais à voir ...)

Posté par re : Des inégalité classique en intégration 20-08-24 à 21:05

Bonjour,

Je trouve l'énoncé du 2/ étrange. k me semble être une variable muette. N'y a-t-il pas une sommation oubliée ?

Posté par re : Des inégalité classique en intégration 20-08-24 à 22:21

Ah, non, c'est OK. J'avais lu trop vite.

Posté par re : Des inégalités classiques en intégration 21-08-24 à 06:57

Bonjour,
@carpediem,
Pourquoi k = 0 entraine f nulle presque partout ?

Posté par re : Des inégalités classiques en intégration 21-08-24 à 13:39

oui Sylvieg tu as raison : f peut très bien osciller sans être nulle presque partout ...

désolé et merci

Posté par re : Des inégalités classiques en intégration 22-08-24 à 08:22

Louloopings, vouloir ouvrir un 2e compte est une mauvaise idée, ferme le, sinon, celui-ci se fait bannir automatiquement.

Posté par re : Des inégalités classiques en intégration 22-08-24 à 20:57

Bonjour,

@carpediem : pour la 1) je l'impression que ce n'est pas si évident que ça.

Louloopings : Quelques idées (je n'ai pas tout vérifié, donc attention !) :
Si c est le point unique d'annulation de f sur ]0,pi/2[ (qui existe par accroissements finis).
Quitte à travailler avec -f, on suppose que f>0 sur [0,c[ et f<0 sur ]c,/2],
Et quitte à effectuer le changement de variable u=/2-c on suppose c/4 (car ce changement conduit au même énoncé).
On définit : $F(x)=\int_0^x f(t) cos(t) dt$ et $G(x)=\int_0^x f(t) sin(t) dt$
Et on pose $H(x)=F(x)-G(x) = \sqrt{2} \int_0^x f(t)cos(t+\pi/4) dt$
On note que H(/2)=0

Alors:
-  H(c)>0.
-  H(/4)<0  donc H s'annule sur ]c,/4[ et par accroissements finis, f s'annule sur ]c,/4[ (ce qui contredit l'hypothèse de départ)

Et si c=/4, alors  H(/4)=0 donc par accroissements finis, f s'annule sur ]0,/4[ ainsi que sur ]/4, /2[ (donc au moins 3 annulations).

Bonne soirée

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