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des petites probabilités

Posté par moustik (invité) 26-11-05 à 20:46

Bonjour, pouvez vous m'aider pour ce début d'exo car je suis bloqué.

On lance une pièce non truquée. On étudie le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pour la première fois r Piles consécutifs, r étant un nombre entier qui vaut 2 dans la partie A et 3 dans la partie B.
Partie A
X désigne la var égale au nombre de alncers nécessaires pour obtenir pour la première fois deux Piles consécutifs.
1) Calculer P(X=1), P(X=2), P(X=3) et P(X=4).
2. En se ramenant aux résultats possibles du premier lancer, montrer que P(X=n)=(1/2)P(X=n-1)+(1/4)P(x=n-2) pour tout entier n >=é
3. On pose xn=P(X=n), exprimer xn en fonction de n.
4. Montrer que X a une espérance et calculer E(X).
Partie B
X désigne la vraible aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir pour la première fois trois Piles consécutifs.
1) Calculer P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4), P(X=5), et P(X=6)
2) Montrer que P(X=n)=(1/2)P(X=n-1)+(1/4)P(X=n-2)+(1/8)P(X=n-3) pour tout entier n>=3.
3. on pose xn=P(X=n), faire un programme matlab permettant de calculer xn pour une valeur de n entrée par l'utilisateur. Calculer x20 c'est à dire P(X=20)
4. On recherche ici la probabilité d'obtenir au moins une suite de trois piles consécutifs.
Soit n un entier non nul, on désigne par Pn l'évt obtenir Pile au n ième lancer, oln considère l'evt En=P(3n-2)interP(3n-1)interP(3n) (en indice)
a) Calculer P(En)
b) Calculer la probabilité de An=inter(Ekbarre),k=1:n
c) En déduire la probabilité de l'evt interEkbarre,k=1àinf (on prendra soin d'énoncer le théorme utilisée.
d) En déduire la probabilité d'obtenir au moins une suite de trois piles consécutifs dan une suite infinie de lancers.

J'ai une suite à l'exo mais pour l'instant j'aimerai déjà réussir à comprendre et à faire ce début.
Merci par avance.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 27-11-05 à 03:29

Bonjour,

Tu as oublié de préciser :
A quelles questions as-tu répondu ?
Quelles pistes as-tu tentées pour les autres ?

Cf. "n'envoyez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé" à la fin de :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q01 - Que dois-je faire avant de poster une question ?



Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 27-11-05 à 03:59

On lance une pièce non truquée. On étudie le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pour la première fois r Piles consécutifs, r étant un nombre entier qui vaut 2 dans la partie A et 3 dans la partie B.
Partie A
X désigne la var égale au nombre de alncers nécessaires pour obtenir pour la première fois deux Piles consécutifs.
1) Calculer P(X=1), P(X=2), P(X=3) et P(X=4).

P(X=1) = P(2 piles consécutifs au 1er lancer ) = 0
P(X=2) = P(2 piles consécutifs au bout du 2ème lancer)
= P(pile puis pile) = 1/2 1/2 = 1/4
P(X=3) = P(2 piles consécutifs au bout du 3ème lancer et pas avant)
= P(face puis pile puis pile) = 1/2 1/2 1/2 = 1/8
P(X=4) = P(2 piles consécutifs au bout du 4ème lancer et pas avant)
= P(P F P P ou F F P P) = 1/2 1/2 1/2 1/2 + 1/2 1/2 1/2 1/2 = 1/8

2. En se ramenant aux résultats possibles du premier lancer, montrer que P(X=n)=(1/2)P(X=n-1)+(1/4)P(x=n-2) pour tout entier n >=é3.

P(X=n) ?
Si le premier est Face, on est ramené à la probabilité d'obtenir 2 piles de suite au (n-1)ème lancer dans la série de (n-1) suivante.
Si le premier est Pile, le second doit nécessairement être face, puis on est ramené à la probabilité d'obtenir 2 piles de suite au (n-2)ème lancer dans la série de (n-2) suivante.

P(X=n)
= P(X=n/1er=F)P(1er=F) + P(X=n/1er=P)P(1er=P)
= P(X=n/1er=F)P(1er=F) + P(X=n/1er=P et 2ème=F)P(1er=P)P(2ème=F)
= (1/2)P(X=n-1)+(1/4)P(X=n-2)

On vérifie ainsi les résultat de la question précédente :
P(X=4) = (1/2)P(X=3) + (1/4)P(X=2)

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par moustik (invité)re : des petites probabilités 27-11-05 à 10:57

merci beaucoup je vais regarder si je comprends tout et si j'arrive à faire la suite, sinon je vous recontacterai pour des explications.
Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 27-11-05 à 11:02

Je t'en prie.

Posté par moustik (invité)re : des petites probabilités 27-11-05 à 17:09

alors j'ai tout compris mais je suis bloqué pour A)4) je vois pas comment faire et ensuite j'ai fait B)1)2) mais je suis bloqué pour la question 3) et 4) en entier, pouvez vous m'aider?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 27-11-05 à 17:11

Qu'as-tu trouvé pour A)3) ?
(Je quitte l'Île dans 10 minutes, mais d'autres pourront t'aider)

Posté par moustik (invité)re : des petites probabilités 27-11-05 à 18:42

c'est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 donc j'ai appliqué la formule mais je suis toujours bloqué pour le reste

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 28-11-05 à 03:59

Oui... mais que trouves-tu ?
Pourquoi ne veux-tu pas nous le dire ?
Ce résultat est pourtant indispensable pour calculer l'espérance !

\mathbb{E}(X)=\bigsum_{n=0}^{\infty}n.\mathbb{P}(X=n)=\bigsum_{n=0}^{\infty}n.x_n

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par moustik (invité)re : des petites probabilités 28-11-05 à 18:28

alors je trouve alpha(-rac(5)/4+1/4)^n+beta(rac(5)/4+1/4)^n
voilà j'arrive tjrs pas à faire la 4 de la partie A puis partie B la question 3 et 4, pourrais tu m'aider?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 29-11-05 à 01:02

moustik, on va jouer longtemps aux devinettes comme cela ?

Qui est alpha ? Qui est beta ?

Moi, je préfère faire les questions les unes après les autres, surtout quand elles ne présentent pas de difficulté particulière. Et on n'a toujours pas obtenu la réponse à la 3 !

Je n'ai pas vérifié tes calculs aboutissant à ces V5, mais il faut maintenant déterminer les coefficients alpha et beta.
x_1 = P(X=1) = 0
x_2 = P(X=2) = 1/4
Cela donne deux relations sur alpha et beta, et permet donc de déterminer alpha et beta.
Ensuite tu pourras vérifier que l'expression est juste avec P(X=3) et P(X=4)

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 29-11-05 à 05:33

Pardon, il faut trouver alpha et beta à partir de :
x_3 = P(X=3) = 1/8
x_4 = P(X=4) = 1/8

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 29-11-05 à 06:05

Pour ma part, je trouve :
Pour n\geq 3 :
\fbox{x_n=\mathbb{P}(X=n)=\frac{\sqrt{5}}{80}\Big((\sqrt{5}-1)^3(3+\sqrt{5})(\frac{1+\sqrt{5}}{4})^n+(\sqrt{5}+1)^3(3-\sqrt{5})(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^n\Big)}

Ensuite, on doit pouvoir vérifier que :
\Bigsum_{n=0}^{\infty}x_n=\frac{1}{4}+\Bigsum_{n=3}^{\infty}x_n=1
(somme infinie des termes de 2 suites géométriques)

On doit également pouvoir calculer :
\mathbb{E}(X)=\Bigsum_{n=0}^{\infty}n.x_n=2.\frac{1}{4}+\Bigsum_{n=3}^{\infty}n.x_n
en s'appuyant sur :
\Bigsum_{k=1}^nkq^{k} = q\frac{1-q^n-nq^n(1-q)}{(1-q)^2}
(obtenue classiquement par dérivation de 1+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q})

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 29-11-05 à 16:04

Vérifions que \Bigsum_{0}^{\infty}x_n=1

Lemme immédiat : \Bigsum_3^\infty q^n=\frac{1}{1-q}-q^2-q-1

\Bigsum_{0}^{\infty}x_n
=\frac{1}{4}+\Bigsum_{3}^{\infty}x_n
=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{5}}{80}\Big[(\sqrt{5}-1)^3(3+\sqrt{5})\Bigsum_{3}^{\infty}(\frac{1+\sqrt{5}}{4})^n+(\sqrt{5}+1)^3(3-\sqrt{5})\Bigsum_{3}^{\infty}(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^n\Big]
or \Bigsum_{3}^{\infty}(\frac{1+\sqrt{5}}{4})^n=\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{4}}-(\frac{1+\sqrt{5}}{4})^2-\frac{1+\sqrt{5}}{4}-1=...=\frac{11+5\sqrt{5}}{8}
et \Bigsum_{3}^{\infty}(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^n=\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{4}}-(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2-\frac{1-\sqrt{5}}{4}-1=...=\frac{11-5\sqrt{5}}{8}
Donc :
\Bigsum_{0}^{\infty}x_n
=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{5}}{80.8}\Big[(\sqrt{5}-1)^3(3+\sqrt{5})(11+5\sqrt{5})+(\sqrt{5}+1)^3(3-\sqrt{5})(11-5\sqrt{5})\Big]
=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{5}}{80.8}\Big[96\sqrt{5}\Big]
=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}
=1

Ouf !

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 29-11-05 à 16:17

Je me rends compte maintenant que mon expression de x_n peut être heureusement simplifiée :

Pour n\geq 3 :
\fbox{x_n=\mathbb{P}(X=n)=\frac{\sqrt{5}}{10}\Big[(\frac{1+\sqrt{5}}{4})^{n-1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^{n-1}\Big]}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 29-11-05 à 16:18

Il n'est jamais trop tard pour bien faire.

Posté par moustik (invité)re : des petites probabilités 29-11-05 à 19:59

merci beaucoup je vais regarder ça ,en fait alpha et beta c'était pas des devinettes, j'avais pas compris qu'il fallait trouver explicetement alpha et beta.
Je vais regarder ça, par contre pour la 4 je suis toujours bloqué.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 30-11-05 à 03:15

4. Montrer que X a une espérance et calculer E(X)

Lemme
En dérivant \bigsum_{n=0}^{N-1}q^n=\frac{1-q^N}{1-q}, on obtient :
\bigsum_{n=1}^{N-1}nq^{n-1} = \frac{1-q^N-Nq^{N-1}(1-q)}{(1-q)^2}
donc, si |q|<1, \bigsum_{n=1}^{\infty}nq^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2}
et \fbox{\bigsum_{n=3}^{\infty}nq^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2}-1-2q}

\mathbb{E}(X)
=\Bigsum_{n=0}^{\infty}n.x_n
=2.\frac{1}{4}+\Bigsum_{n=3}^{\infty}n.x_n
=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10}\Big[\Bigsum_{n=3}^{\infty}n.(\frac{1+\sqrt{5}}{4})^{n-1}-\Bigsum_{n=3}^{\infty}n.(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^{n-1}\Big]
=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10}\Big[\frac{1}{(1-\frac{1+\sqrt{5}}{4})^2}-1-2\frac{1+\sqrt{5}}{4}-\frac{1}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2}+1+2\frac{1-\sqrt{5}}{4}\Big]
=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10}\Big[11\sqrt{5}\Big]
=6

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par moustik (invité)re : des petites probabilités 30-11-05 à 20:52

c'est de la question 4 de la partie B dont il était question:
à présent je bloque pour 4c et 4d slt si tu pouvais m'aider.
et j'ai une suite à l'exo j'ai selectionner quelques questions auquelles je n'arrive pas à répondre:
Pour tout entier n supérieur ou égalà 3, on désigne Un par obternir une suite de 3 piles consécutifs s'achevant à la nième expérience, c a d obtenir pile aux n-2 n-1 et nè lancersn aucun de ces lancers n'ayant été comptabilisé dans une suite de trois piles consécutifs.
On pose u0=1 u1=u2=0
Montrer que Pn-2inter Pn-1interPn est réalisé si et slt si Un-2, Un-1 et Un est réalisé
b) En déduire que la suite Un verifie la relation (1) Un+(1/2)Un-1+(1/4)Un-2=1/8 pour n>=3
Ensuite on pose xn=P(X=n) et x0=x1=x2=0
on pose pour tout x appartenant à [0,1] U(x)=sum unx^n,n=0:inf, en utilisant la relation 1 montrer que pour tout x appartenant à (0,1[ [U(x)-1](1+(1/2)x+(1/4)x²)=(1/8)x^3*1/(1-x)

voilà merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des petites probabilités 01-12-05 à 08:02

"c'est de la question 4 de la partie B dont il était question"
Comment pouvais-je le savoir ?
Tu as dit :
27/11 17h09 "je suis bloqué pour A)4) "
28/11 18h28 "j'arrive tjrs pas à faire la 4 de la partie A"
29/11 19h59 "par contre pour la 4 je suis toujours bloqué"
Si tu veux que nous nous concentrions sur les questions qui te font vraiment souci, encore faut-il que tu indiques clairement desquelles il s'agit. Je t'ai déjà suggéré plus haut de ne pas jouer aux devinettes. Cela te permettra de gagner du temps, et cela évitera de nous en faire perdre. J'ai passé plus de 40 minutes sur A.3)+A.4) (réflexion + rédaction sous LaTeX). Tu dis que tu as trouvé A.4) : tu as aussi trouvé 6 ? pourquoi n'as-tu pas posté ton résultat ? Il aurait pu être utile à d'autres lecteurs intéressés par l'exercice... Ici, il ne faut pas prendre, il faut aussi un peu donner.
Désolé. Ne prends pas tout au premier degré. Je suis un peu agacé.

Nicolas


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