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des sommes doubles!!

Posté par sophdem (invité) 06-09-05 à 20:53

bonjour à tous. Je n'arrive pas à faire cet exo sur les sommes doubles. Pourriez vous me donner un coup de main svp?

Soit n *

PARTIE A Calculs préliminaires
Soit q . On pose Sn= qk.

1/ Rappeller la valeur de Sn.
Pour cette question j'ai trouvé Sn= (1-qn+1)/ (1-q)

2/ Calculer Tn= kqk-1de deux manières différentes.

     a) en remarquant que k = 1 et en faisant apparaitre une somme double où l'on intervertira les deux sommes.
     b) en considérant Sncomme une fonction de q et le dérivant par rapport à q.

3/ En déduire kqk

4/ Calculer Un= k(k-1)qk-2

PARTIE 2Calcul de Vn= 2j

1/ Calculer Vnde manière directe.

2/ Retrouver la valeur de Vnen intervertissant les deux sommes.
  Indication: on pourra utiliser le 3 de la partie A.

Voila, je suis complètement bloquée après la première question. merci d'avance pour votre aide et bonne soirée à tous!

Posté par sophdem (invité)re : des sommes doubles!! 06-09-05 à 20:53

désolé je n'arrive pas à faire les sommes!

Posté par sophdem (invité)re : des sommes doubles!! 06-09-05 à 20:54

je me suis trompée ce n'est pas terminale le niveau c'est autre!
Je ne suis décidément pas très douée!!

Posté par sophdem (invité)des sommes doubles 06-09-05 à 20:59


J'ai tapé ce sujet mais je n'arrive pas à écrire les sommes!  

bonjour à tous. Je n'arrive pas à faire cet exo sur les sommes doubles. Pourriez vous me donner un coup de main svp?

Soit n *

PARTIE A Calculs préliminaires
Soit q . On pose Sn= qk.

1/ Rappeller la valeur de Sn.
Pour cette question j'ai trouvé Sn= (1-qn+1)/ (1-q)

2/ Calculer Tn= kqk-1de deux manières différentes.

     a) en remarquant que k = 1 et en faisant apparaitre une somme double où l'on intervertira les deux sommes.
     b) en considérant Sncomme une fonction de q et le dérivant par rapport à q.

3/ En déduire kqk

4/ Calculer Un= k(k-1)qk-2

PARTIE 2Calcul de Vn= 2j

1/ Calculer Vnde manière directe.

2/ Retrouver la valeur de Vnen intervertissant les deux sommes.
  Indication: on pourra utiliser le 3 de la partie A.

Voila, je suis complètement bloquée après la première question. merci d'avance pour votre aide et bonne soirée à tous!

*** message déplacé ***

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des sommes doubles!! 07-09-05 à 05:45

Pour 2/, il suffit de faire... ce que l'on te demande.

Je suppose que les sommes commencent à l'indice 0
Tu sais que S_n=\Bigsum_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
On s'intéresse maintenant à T_n=\Bigsum_{k=1}^nkq^{k-1}

a)
T_n=\Bigsum_{k=1}^nkq^{k-1}
=\Bigsum_{k=1}^n((\Bigsum_{i=1}^k1)q^{k-1})
= \Bigsum_{k=1}^n\Bigsum_{i=1}^k(q^{k-1})
(faire un petit dessin avec les plages de variation des indices pour voir comment inverser les sommes)
= \Bigsum_{i=1}^n\Bigsum_{k=i}^nq^{k-1}
= \Bigsum_{i=1}^n(\Bigsum_{k=i}^nq^{k-1})
= \Bigsum_{i=1}^n(q^{i-1}\frac{1-q^{n-i+1}}{1-q})
=\frac{S_{n-1}}{1-q}-\frac{n.q_n}{1-q}
=\frac{1-q^{n}}{(1-q)^2}-\frac{n.q^n}{1-q}
=\frac{1-q^{n}-n(1-q)q^n}{(1-q)^2}
\fbox{\Bigsum_{k=1}^nkq^{k-1} = \frac{1-q^n-nq^n(1-q)}{(1-q)^2}}

b) Considérons S_n comme une fonction de q
S_n(q)=\{{\Bigsum_{k=0}^nq^k\\\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}
Dérivons :
S_n'(q)=\{{\Bigsum_{k=1}^nkq^{k-1}\\(\frac{1-q^{n+1}}{1-q})'=...=\frac{1-q^n-nq^n(1-q)}{(1-q)^2}}
Donc :
\fbox{\Bigsum_{k=1}^nkq^{k-1} = \frac{1-q^n-nq^n(1-q)}{(1-q)^2}}

Sauf erreur.

Nicolas



Posté par sophdem (invité)re : des sommes doubles!! 10-09-05 à 08:49

merci beaucoup. j'avais réfléchi sur ce devoir et finalement, j'ai pu comparer mes résultats avec les votres et il s'avère que j'ai les mêmes!

Par contre, j'ai des soucis à résoudre la somme qui va de k=0 à n de k(k-1)qk-2

Merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : des sommes doubles!! 10-09-05 à 10:15

Même méthode que 2)b) mais en dérivant... deux fois !

Posté par sophdem (invité)re : des sommes doubles!! 10-09-05 à 10:33

ok merci je vais essayer avec ça!


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