Niveau Maths sup

déterminant

Posté par trinity (invité) 25-03-05 à 20:35

bonjour, juste une question
comment faire pour calculer le déterminan d'une matrice de format (n,p)?
merci de la réponse!

Posté par re : déterminant 25-03-05 à 21:09

$\|\array{a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots&a_{3n}\\ \vdots&&&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nn}}\|= -a_{21}\|\array{a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\ a_{32}&a_{33}&\ldots&a_{3n}\\ \vdots&&&\vdots\\ a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nn}}\| +a_{22}\|\array{a_{11}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\ a_{31}&a_{33}&\ldots&a_{3n}\\ \vdots&&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n3}&\ldots&a_{nn}}\| +\ldots+(-1)^{2+n}a_{2n}\|\array{a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n-1}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots&a_{3n-1}\\ \vdots&&&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nn-1}}\|$

Posté par re : déterminant 25-03-05 à 21:17

Ops, je me suis trompée et j'ai envoyé le message trop tôt, j'en étais encore à la visualisation, il manque les explications...

Déjà pour commencer on calcule le déterminant d'une matrice carrée. Il n'y a malheureusement pas de formule miracle pour calculer le déterminant d'une matrice de grand ordre, mais il y a une méthode qui est très bien et particulièrement efficace si tu as beaucoup de zéros dans ta matrice.

On peut dévelloper le calcul du déterminant par rapport à une ligne (ou une colonne) de sorte à ce qu'on décompose le calcul d'un déterminant d'une matrice nxn en n déterminants de matrices (n-1)x(n-1). La belle formule que j'ai envoyé trop tôt au message précédent est celle où je développe par rapport à la deuxième ligne. Si il y a pas malde termes nuls dans cette ligne la plupart de ces déterminants tombent (car multipliés par zéro). S'il n'y a pas tellement de termes nuls cette méthode devient très longue et fatidieuse.

J'espère que tu aies pu comprendre l'idée...
Isis

Posté par re : déterminant 25-03-05 à 21:28

Remarque que le déterminant qui est multiplié par $a_{21}$ est celui de la matrice de départ sans la ligne 2 et la colonne 1.

Le déterminant qui est multiplié par $a_{22}$ est celui de la matrice de départ sans la ligne 2 et la colonne 2.
...
Le déterminant qui est multiplié par $a_{2n}$ est être celui de la matrice de départ sans la ligne 2 et la colonne n.

Le signe devant le terme $a_{ij}$ est $(-1)^{i+j}$ .

Tu trouveras sûrement plus d'infos à propos sur le net, mais je ne me rappelle plus le nom de cette méthode, désolée... Peut-être que quelqu'un d'autre a une meilleure mémoire des noms des règles et théorèmes que moi.

Isis

Posté par N_comme_Nul (invité)re 25-03-05 à 22:29

Bonsoir !

Pourrait-on alors calculer le déterminant d'une matrice (3,4) ?
On en apprend tous les jours.

Bizarre ça.

_____________________
Je suis nul en maths.

Posté par re : déterminant 25-03-05 à 22:34

Non, j'ai bien dit qu'on ne calcule le déterminant que des matrices carrées. Celle du départ est de taille nxn et après réduction on a n déterminants de matrices de taille (n-1)x(n-1). Les matrices sont toutes carrées. On enlève à chaque fois une ligne et une colonne de la matrice.

Isis

Posté par N_comme_Nul (invité)re 25-03-05 à 22:38

Je ne parlais pas de toi isisstruiss .

J'avais juste lu le premier message. Eu égard à l'usage de deux lettres $n$ et $p$ ... je pensais qu'on m'avait menti sur les histoires de déterminant

_____________________
Je suis nul en maths.

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