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Déterminant avec matrice nilpotente
Bonjour. Voici mon exercice :
Soit (A,N)
Mn(
)² tel que AN=NA. On suppose N nilpotente. Montrer que det(A+N) = det(A)
Voilà ; il a déjà été plus ou moins posté ici mais une hypothèse différait.
J'ai compris que si A est inversible, on a
det(A+N)=det(A)det(I+A-1N)
N étant nilpotente, A-1N l'est aussi
Il suffit ensuite de démontrer qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire avec des 0 sur la diagonale : comme le polynôme minimal est de la forme Xp, les valeurs propres sont toutes nulles et on a ainsi det(I+A-1N)=1
Mais comment montrer que A est à coup sûr inversible ? Ou alors il faut faire un cas où elle n'est pas inversible, et dans ce cas je ne vois pas comment faire... Je suppose qu'il faut se servir de l'hypothèse de commutativité, que je n'ai pas encore utilisée...
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour.
et
commutent, donc elles sont trigonalisables dans une même base : dans cette base,
et
ont la même diagonale, donc le même déterminant.
Il suffit donc que je montre que les vecteurs propres de A et N sont les mêmes, c'est bien ça ?
J'ai un peu de mal avec cette notion, je ne me rappelle pas l'avoir vue dans le cours...
voilà, désolé par avance pour le double post, mais au cas où ça intéresse quelqu'un, j'ai eu la solution sans passer par la co-trigonalisation !
Donc, pour le cas où A n'est pas inversible, on pose B = A-xI où x n'appartient pas au spectre de A.
Alors B est inversible, et elle commute avec N aussi, d'où on se sert de la première partie pour montrer que det(B+N)=det(B)
det(A-xI+N)=det(A-xI)
det(A-xI) est le polynôme caractéristique de A, de degré n, et det(A-xI+N) est un polynôme de degré n
Ils coincident sur
-Sp(A), donc en une infinité de points ; ce sont les mêmes
D'où 
x,det(A-xI+N)=det(A-xI)
Donc en particulier, pour x=0
det(A+N)=det(A)
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