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déterminant d'une matrice d'ordre n

Posté par Lily13 (invité) 11-10-07 à 19:45

Bonjour,
mon probleme est le suivant :
je dois calculer le determinant de la matrice définie par : Bn = ( (-1)^(max(i,j) ) ac 1< i,j <n  (inégalité large)
on a donc Bn = ( -1   1   -1....
                  1   1   -1...
                 -1  -1   -1 ...
                   ....    ..    )
j'ai choisi de m'ocuper du cas n= pair. La ligne i=n et donc composé seulement de 1.
Dans le déterminant j'ai effectué l'opération Ln <- Ln + Ln-1  . On retrouve dc sur laderniere ligne que des 0 sauf pour le coefficient (i=n, j=n) qui vaut 2
J'ai donc ddéveloppé le déterminant par rapport à la derniere ligne. j'ai donc : Det(Bn) = 2* Det(B(n-1)
En effectuant une opération similaire j'obtiens Det(Bn) = -4 Det (B(n-2)...
ms apres je ne voia pas trop comment faire..on doit sans sute pouvoir déduire quelquechose par récurrence? Ou il y a peut etre une méthode plus rapide.. ?
merci de votre aide

Posté par
geo3re : déterminant d'une matrice d'ordre n 11-10-07 à 21:13

Bonsoir
B1 = -1
B2 = 2*(-1) = -2  = 2B1
B3 = -2B2 = -4B1 = 4
B4 = 2B3 = 8
B5 = -2B4 = -16
B6 = 2B5 = -32
B7 = 64
B8 = 128
...

Bn = (-1)n*2Bn-1
= (-1)n*2*(-1)n-1*2*Bn-2 = (-1)n*2*(-1)n-1*2*Bn-2 = (-1)2n-1*2²*Bn-2
= (-1)2n-1*2²*(-1)n-2*2Bn-3 = (-1)3n-3*23*Bn-3
= (-1)3n-3*23*(-1)n-3*2*Bn-4 = (-1)4n-6*24*Bn-4
= (-1)5n-10*24*Bn-5
= (-1)6n-15*25*Bn-6
= (-1)7n-21*27*Bn-7
= (-1)8n-28*28*Bn-8
= .....

Voilà pour débuter
A+

Posté par
raymond Correcteurre : déterminant d'une matrice d'ordre n 12-10-07 à 00:00

Bonsoir.

Je pense avoir une piste.

Je note Li la ligne n°i.

2$\textrm L_1 : (-1)^1 ... (-1)^{i-1} (-1)^i \(-1)^{i+1} ... (-1)^n

2$\textrm L_i : (-1)^i ... \ (-1)^i \ \(-1)^i (-1)^{i+1} ... (-1)^n

En retranchant la première ligne à toutes les autres, pour tout i > 1 :

2$\textrm L_i - L_1 : [(-1)^i - (-1)^1] ... [(-1)^i (-1)^{i-1}] 0 ... 0

On voit donc apparaître un déterminant dont tous les termes sont nuls en dessous de la première ligne jusqu'à la diagonale principale incluse. Les termes parallèles à cette diagonale, situés sous cette diagonale sont du type :

2$\textrm (-1)^i - (-1)^{i-1} = 2\times(-1)^i

Développons sur la dernière colonne :

2$\textrm B_n = (-1)^{n+1}\times(-1)^n\times\Bigprod_{i=2}^n 2\times(-1)^i

4$\textrm\fbox{B_n = (-1)^{\fra{n(n+1)}{2}}\times \ 2^{n-1}}

A confirmer !!! A plus RR.


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