c'est le nombre de la matrice en lui meme

Encore plus fort : le déterminant de la matrice ?

Une matrice 0x0 serait associée à une application linéaire d'un e.v de dimension 0 à un e.v de dimension 0

la matrice 00 est l'ensemble vide! la notion du déterminant n'y est pas défini.

La matrice n'est pas l'ensemble vide. D'abord, une matrice ce n'est pas un ensemble, mais une application du produit cartésien de l'ensemble des indices de lignes par l'ensemble des indices de colonnes à valeurs dans l'anneau A des coefficients. La matrice à 0 ligne et 0 colonne est l'unique application
Et le déterminant de la matrice est parfaitement défini !

Quel coefficient transformerait le vecteur nul en vecteur nul ??

la matrice 0x0 serait-elle ?

Il me semblait pourtant avoir été clair : la matrice (à coefficients dans ) est l'unique application . Il n'y a pas de coefficient à deviner !

Ensuite, le calcul du déterminant de cette matrice ne souffre pas d'ambiguïté. Il suffit d'appliquer la formule du déterminant faisant intervenir les signatures de permutation, sachant que
1°) Le produit de la famille vide d'éléments de l'anneau commutatif A est  1 (l'élément neutre pour la multiplication de A), de même que la somme de la famille vide d'éléments de A est 0 (l'élément neutre pour l'addition de A).
2°) Le groupe symétrique de l'ensemble vide (de cardinal ) comprend l'unique application , qui est une permutation paire.

La valeur trouvée pour le déterminant de la matrice fait bien marcher la formule de développement du déterminant selon une ligne (ou une colonne) pour le déterminant .

Bonjour

Juste pour demander à saou si son pseudo a un rapport avec le village du même nom (dans la Drôme).

Salut,
pour Jeanseb, non mon pseudo n'a rien avoir avec ce village que je ne connais pas (je ne suis pas de la France, déjà).
Pour les autres, je ne vous suis pas du tout, la matrice 0*0 est le vide (non pas l'ensemble vide, là c'est vrai j'admets) mais pour la suite du raisonnement, je n'y vois pas un sens!

A+

C'est simplement que le vide te fait perdre tous tes moyens. C'est une réaction assez fréquente, pas mal de gens par ailleurs raisonnables en mathématiques deviennent frappés de stupeur dès qu'il voient de petit symbole : . Il n'y a pourtant rien de sorcier. L'ensemble vide est un ensemble comme les autres, et il suffit de lui appliquer les règles ordinaires de raisonnement.

Pour commencer, est-ce que ce premier point te pose problème : quel que soit l'ensemble , il existe une et une seule application de dans .

@GaBuZoMeu : Dans ton post daté du 05-05-12 à 12:45, tu dis :

Alors, pour être plus précis, une matrice n'est pas l'ensemble de ses coefficients. Tout ceci ne change rien à la question du déterminant de la matrice , qui est parfaitement défini.

à GaBuZoMeu,
L'ensemble vide est l'ensemble qui par définition ne contient rien! on cherche maintenant d'après ce que tu dis, une application qui ramène un 'rien' à un élément dans un ensemble X, c'est à dire que cette application miraculeuse va créer à partir de 'rien' un élément défini dans X. Désolée, mais c'est un peu trop philosophique ce dont tu parles.

J'ai fait prépa et déjà jamais on n'a parlé de l'image d'un vide par une application.
Et je pense aussi qu'on ne peux pas parler de matrice de dimension 0*0. Peux tu me dire sur quoi est fondé ton raisonnement?

Merci.  

@saou

En tout cas, j'avais pas mal localisé ton blocage par rapport au vide : tu refuses l'existence d'une unique application de l'ensemble vide dans un ensemble quelconque.
Ce n'est pas de la philosophie, juste des mathématiques.
Reporte-toi par exemple à la page de définition du site ilemaths : Ensemble et application (partie II) - Fonction, injection, surjection, bijection pour ce qui est de la définition d'une application de dans .
Prenons , un ensemble quelconque. Le produit cartésien est alors l'ensemble vide ; et l'ensemble vide, qui est l'unique partie de , est bien le graphe d'une application de dans . En effet, pour tout de , il existe un et un seul tel que . Si tu n'es pas d'accord, c'est que tu peux me montrer un qui possède la propriété que le nombre de tel que est différent de 1 . As-tu un tel à me montrer ? Non, bien sûr, puisque l'ensemble vide n'a aucun élément.
On a montré, sans contestation possible, qu'il existe une unique application de l'ensemble vide dans n'importe quel autre ensemble.

A GaBuZoMeu,

Merci tout d'abord pour les explications.
J'avoue que certaines notions m'échappent malheureusement, mais permet moi de te prendre encore tête.
J'ai vu un peu sur internet, et j'admets qu'il y a vraiment existence d'une unique application de l'ensemble vide vers n'importe quel autre ensemble, je n'ai pas vu de démonstration.
Je suis d'accord avec toi, jusqu'au début de la ligne n°5, et à partir de "en effet pour tout x de " là je ne te suis plus, même si tu le dis après que l'ensemble vide ne contient aucun élément, comment tu peux commencer ton raisonnement par "x" ??.
Sur le lien où tu m'as orienté (et merci ), on dit que pour tout application f, on a f() = , ce qui me remet encore en question, comment existerait-il une application de F et non  pas de . Je parle de l'existence, on est pas encore arrivé à l'unicité.

Merci!

Pourquoi ne pourrait-on pas écrire ? D'abord, ceci n'est qu'une abréviation pour . Bien sûr est toujours faux, et donc l'implication est toujours vraie ("ex falso sequitur quodlibet").
Non seulement on peut bien écrire , mais c'est une proposition qui est vraie. La nier reviendrait à exhiber un élément de l'ensemble vide qui ne possède pas la propriété , ce qui est bien sûr impossible.

Ceci te secoue sans doute les méninges. C'est un peu normal, on se fait souvent des idées préconçues sur l'ensemble vide. L'important est d'accepter de remettre en question ces idées préconçues.

Prenons un exemple. Pour , posons . Je te laisse vérifier que . Prenons maintenant . Dans ce cas , et comme cas particulier de la propriété qu'on vient de montrer on a donc . Pas de quoi s'affoler.