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Déterminant de Gram
Bonsoir, je fais un exercice sur le déterminant de Gram mais je bloque sur 2 questions :
Soit E un espace euclidien de dimension n.
A toute famille (x1, . . . , xn) de vecteurs de E on associe la matrice G = G(x1, . . . , xn) = (xij)1≤i,j≤n.
On appelle déterminant de Gram de (x1,...,xn) le nombre réel DG(x1,...,xn) = detG.
1) On a montré l'équivalence entre DG=0 et (x1,...,xn) liée
2) Je cherche a montrer l'équivalence DG=0 et (x1,...,xn) libre
J'ai le sens direct mais je ne voit pas l'autre sens. (x1,...,xn) libre donne que DG non nul mais pas positif..
3) Prouver que toute permutation de (x1, . . . , xn) laisse invariant Gram(x1, . . . , xn) et calculer DG(alpha*x1,...,xn) : je bloque totalement
Salut,
Ton 1) et 2) couplés n'ont aucun sens. C'est évidemment 1) qui est correcte.
Redonne l'énoncé pour le 2) s'il te plaît.
De plus, G=(x_i | x_j), et pas x_ij.
Pour la 3), il suffit de prendre une permutation quelconque et voir ce qu'il se passe. Ou alors revenir à la définition du déterminant. Pour le calcul ensuite, il suffit d'écrire la matrice et cela vient tout seul.
Oui désolé, j'ai fais du "copié mal collé" :
2) Je cherche a montrer l'équivalence DG>0 et (x1,...,xn) libre
(x1,...,xn) libre ne me donne que DG non nul mais pas positif
3) J'ai utilisé la linéarité par rapport à la première ligne et la première colonne et je trouve DG(alpha*x1,...,xn)= alpha^2 * DG(x1,...,xn), correct ?
Je bloque toujours sur les permutations...
Si est libre, c'est une base.
Alors le déterminant de Gram n'est autre que le discriminant du produit scalaire exprimé dans cette base.
0 .Bonjour sammaths.
Pour la 2), il suffit décrire que la famille de vecteurs est libre :
- si et seulement si pour toute famille de scalaires non tous nuls on a
- si et seulement si pour tout
- si et seulement si les vecteurs colonne de G sont libres.
- si et seulement si .
2) J'arrive comme vous à la conclusion que DG est non nul si (x1,..,xn) est libre mais je ne vois pas pourquoi il serait positif..
3) Validez-vous DG(alpha*x1,...,xn)= alpha^2 * DG(x1,...,xn) ?
Et pour prouver que toute permutation de (x1, . . . , xn) laisse invariant Gram(x1, . . . , xn), il faut partir sur une récurrence ?
Tu as très mal regard é puisque la question II.2.b est
" Montrer que : Gram(u1,....,un) = tA.A . En déduire que Gram(u1,....,u n) > 0 " .
Pour la 3) tu commences par par voir ce qui se passe pour une transposition. Et comme toute permutation est une produit de transposition, tu conclus !
Oui effectivement, si on transpose G et qu'on utilise la symétrie du produit scalaire on retrouve la matrice de départ. Je ne savais pas que toute permutation est une produit de transposition, ce n'est pas dans mon cours.
Est-ce que qq peut valider DG(alpha*x1,...,xn)= alpha^2 * DG(x1,...,xn)?
* , A Dans votre exemple, j'aurais tendance à dire t^n mais avec la matrice de Gram, quand je l'écrit, je n'utilise que la linéarité par rapport à la première ligne et colonne, d'ou mon alpha^2 ..
Tu dis "j'aurais tendance à dire " .
Tu joues à la devinette ou tu es capable de le démontrer ?
De plus il y a n dans ce que tu supposes mais pas dans ton alpha^2 !
@sammaths : si on te donne une matrice de Gram, la première chose à faire pour visualiser, c'est de la dessiner, même en dimension 3, histoire de comprendre :
Tu vois que si tu multiplies un vecteur par un scalaire a tu obtiens : (par exemple )
Tu vois que tu as alors multiplié une ligne et une colonne de la matrice de Gram par a donc son déterminant par
Oui, c'est bien ce que j'ai, même au rang n on multiplie la ligne 1 et la colonne 1 par alpha, donc par linéarité par rapport à la première ligne et colonne on a multiplié la matrice G par alpha^2 !
x1,...,
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