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Niveau Maths sup
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Déterminant de Gram

Posté par
soufianelh
28-05-19 à 15:10

Bonjour, j'ai besoin dans cette question.

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension p sur R (p ≥ 2). Pour (x1,...,xn) donné dans E^n, on pose G(x1,...,xn) = (xi|xj)1≤i,j≤n

Montrer que rg(G(x1,...,xn)) = rg(x1,...,xn).

Posté par
jsvdb
re : Déterminant de Gram 28-05-19 à 15:23

Bonjour soufianelh.

Les vecteurs colonnes de la matrice de Gram admettent les mêmes relations de dépendance linéaire (dans l'espace  \mathbb {R} ^{n} des n-uplets de réels) que les vecteurs x_i dans E : si on note (C_1, \cdots, C_n) la famille des vecteurs colonnes de la matrice de Gram, on a pour toute famille de réels (a_1, \cdots, a_n)

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0_{E}} si et seulement si  {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}C_{i}=0_{\R^n}}

Il s'ensuit que la famille de vecteurs (x_1, \cdots,x_n) et sa matrice de Gram ont le même rang.

Déterminant de Gram

Posté par
soufianelh
re : Déterminant de Gram 29-05-19 à 00:31

Bah c ça ce que je cherche à montrer en fait

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Déterminant de Gram 29-05-19 à 03:29

Bonjour,

une idée :


\large \boxed{1} considérer F un sous-espace de E qui contient les vecteurs x_1,...,x_n et qui soit de dimension n.


\large \boxed{2} considérer (e_1,...,e_n) une base orthonormale de F.


\large \boxed{3} considérer la matrice A de x_1,...,x_n dans (e_1,...,e_n).


\large \boxed{4} montrer que \large \boxed{G=^tAA}.


\large \boxed{5} montrer que \large \boxed{rg(^tAA)=rg(A)}. sauf erreur bien entendu



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